Чтобы найти скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AM} ) в равностороннем треугольнике ABC с заданной стороной ( AB = 2 ), будем следовать шагам:
1. Определение точек
Рассмотрим треугольник ABC, где:
- Пусть точки ( A ), ( B ) и ( C ) имеют координаты ( A(0, 0) ), ( B(2, 0) ) и ( C(1, \sqrt{3}) ). Координаты точки ( C ) определены так, чтобы треугольник был равносторонним с высотой ( C), длина которой равна ( \sqrt{3} ) (высота равностороннего треугольника со стороной 2).
2. Находим координаты медианы M
Медиана ( AM ) соединяет вершину ( A ) и середину отрезка ( BC ). Для нахождения координат точки ( M ) (середины отрезка ( BC )):
[
M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = M\left(\frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
]
3. Найдем векторы
Теперь найдем векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AM} ):
Вектор ( \vec{AB} ):
[
\vec{AB} = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0).
]
Вектор ( \vec{AM} ):
[
\vec{AM} = M - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
]
4. Находим скалярное произведение ( \vec{AB} ) и ( \vec{AM} )
Скалярное произведение двух векторов ( \vec{u}(u_1, u_2) ) и ( \vec{v}(v_1, v_2) ) определяется как:
[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2.
]
Подставляем координаты векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AM} ):
[
\vec{AB} \cdot \vec{AM} = (2, 0) \cdot \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{3}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 0 = 3.
]
5. Ответ
Скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AM} ) равно ( 3 ).
Таким образом, мы получили результат и разобрали все шаги, позволяющие понять, как его найти.
