Дан равносторонний треугольник ABC со стороной AB=2, AM - его медиана. Найдите скалярное произведение векторов AB и AM.

Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) в равностороннем треугольнике ABC с заданной стороной \( AB = 2 \), будем следовать шагам:

1. Определение точек

Рассмотрим треугольник ABC, где:

• Пусть точки \( A \), \( B \) и \( C \) имеют координаты \( A(0, 0) \), \( B(2, 0) \) и \( C(1, \sqrt{3}) \). Координаты точки \( C \) определены так, чтобы треугольник был равносторонним с высотой \( C\), длина которой равна \( \sqrt{3} \) (высота равностороннего треугольника со стороной 2).

2. Находим координаты медианы M

Медиана \( AM \) соединяет вершину \( A \) и середину отрезка \( BC \). Для нахождения координат точки \( M \) (середины отрезка \( BC \)): \[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = M\left(\frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]

3. Найдем векторы

Теперь найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \):

• Вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0). \]

• Вектор \( \vec{AM} \): \[ \vec{AM} = M - A = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right). \]

4. Находим скалярное произведение \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \)

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u}(u_1, u_2) \) и \( \vec{v}(v_1, v_2) \) определяется как: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2. \] Подставляем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AM} = (2, 0) \cdot \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{3}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 0 = 3. \]

5. Ответ

Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AM} \) равно \( 3 \).

Таким образом, мы получили результат и разобрали все шаги, позволяющие понять, как его найти.