Два космонавта, Питер и Вальтер, прибыли на орбиту Марса. Одному из них предстоит пробная высадка. Чтобы решить, кто первым ступит на поверхность планеты, они придумали игру: сложили банки из-под консервов в две кучки. За один ход игрок может добавить в любую из кучек одну банку или увеличить количество банок в любой кучке в два раза. Например, в одной кучке  12 12 банок, а во второй  7 7; обозначим это как  (  12 , 7  ) (12,7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций:  (  13 ,   7  ) (13, 7),  (  24 ,   7  ) (24, 7),  (  12 ,   8  ) (12, 8) или  (  12 ,   14  ) (12, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество банок. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество банок в обеих кучках становится не менее  63 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход (то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучках будет  63 63 банки или более). На момент начала игры в первой кучке было  7 7 банок, а во второй — S банок  (  8 ≤ S ≤ 55  ) (8≤S≤55). Будем считать, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может победить при любых ходах соперника. Известно, что Вальтер победил в игре своим первым ходом после неудачного первого хода Питера. При каком минимальном значении S такая ситуация возможна?

Чтобы решить эту задачу, начнем с формулировки состояния игры в момент старта. Питер и Вальтер начинают с количества банок в кучках: 7 в первой и \( S \) во второй. Питер первый делает ход, и цель состоит в том, чтобы понять, при каком минимальном значении \( S \) Вальтер сможет выиграть сразу после хода Питера. ### Шаг 1: Условия выигрыша Игра прекращается, когда сумма банок в обеих кучках становится 63 или больше. То есть, в любой момент игрок должен стремиться к достижению этой цели. ### Шаг 2: Определение начального состояния В начале: - Первая кучка: 7 банок - Вторая кучка: \( S \) банок Общая сумма: \[ 7 + S \] Питер делает свой первый ход. Его ходы могут быть следующими: 1. Добавить 1 банку в любую из кучек. 2. Удвоить количество банок в одной из кучек. ### Шаг 3: Определение возможных ходов Питера Теперь проверим возможные ходы Питера: 1. **Добавление 1 к первой кучке (8, S)** - Сумма: \( 8 + S \) 2. **Добавление 1 ко второй кучке (7, S+1)** - Сумма: \( 7 + (S + 1) = 8 + S \) 3. **Удвоение первой кучки (14, S)** - Сумма: \( 14 + S \) 4. **Удвоение второй кучки (7, 2S)** - Сумма: \( 7 + 2S \) Итак, после первого хода Питера, возможные состояния будут: - \( (8, S) \) - \( (7, S + 1) \) - \( (14, S) \) - \( (7, 2S) \) ### Шаг 4: Выигрышная стратегия Вальтера Для того чтобы Вальтер выиграл сразу после хода Питера, он должен сделать ход, который приведет к сумме 63 или более. Рассмотрим все возможности: 1. После первого хода: - Если в состоянии \( (8, S) \) или \( (7, S + 1) \), то Вальтер не сможет выиграть, так как сумма будет не более \( 8 + 55 = 63 \). То есть, если \( S \leq 55 \), выиграть он не сможет. 2. Если Питер делает ход \( (14, S) \), выиграть Вальтер не сможет, если: \[ 14 + S < 63 \implies S < 49 \] 3. Если первый ход Питера \( (7, 2S) \): - Вальтер может добавить 1 к первой кучке (8, 2S) или ко второй (7, 2S + 1) или удвоить первую (14, 2S) или вторую (7, 4S). Здесь после умножения на 2 у нас будет: \[ 7 + 4S \geq 63 \implies 4S \geq 56 \implies S \geq 14 \] ### Шаг 5: Минимальное значение S Таким образом, учитывая все вышеизложенные условия, Вальтер может победить только при: - \( S \geq 14 \) - При \( S = 14 \): 1. Питер делает ход \( (7, 28) \), сумма 35. 2. Вальтер делает ход \( (7, 29) \), сумма 36 – не выиграл. С увеличением до \( S \): При \( S = 15 \) (он будет выигрышным). При таком S выходит, что самый быстрый способ Питера проиграть – это при S, когда: \[ S = 14 \] ### Заключение Таким образом, минимальное значение S, при котором Вальтер может выиграть после первого хода Питера, равно **14**.