Два космонавта, Питер и Вальтер, прибыли на орбиту Марса. Одному из них предстоит пробная высадка. Чтобы решить, кто первым ступит на поверхность планеты, они придумали игру:…
Два космонавта, Питер и Вальтер, прибыли на орбиту Марса. Одному из них предстоит пробная высадка. Чтобы решить, кто первым ступит на поверхность планеты, они придумали игру: сложили банки из-под консервов в две кучки. За один ход игрок может добавить в любую из кучек одну банку или увеличить количество банок в любой кучке в два раза. Например, в одной кучке 12 12 банок, а во второй 7 7; обозначим это как ( 12 , 7 ) (12,7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: ( 13 , 7 ) (13, 7), ( 24 , 7 ) (24, 7), ( 12 , 8 ) (12, 8) или ( 12 , 14 ) (12, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество банок. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество банок в обеих кучках становится не менее 63 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход (то есть первым получивший такую позицию, при которой в кучках будет 63 63 банки или более). На момент начала игры в первой кучке было 7 7 банок, а во второй — S банок ( 8 ≤ S ≤ 55 ) (8≤S≤55). Будем считать, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может победить при любых ходах соперника. Известно, что Вальтер победил в игре своим первым ходом после неудачного первого хода Питера. При каком минимальном значении S такая ситуация возможна?
Чтобы решить эту задачу, начнем с формулировки состояния игры в момент старта. Питер и Вальтер начинают с количества банок в кучках: 7 в первой и \( S \) во второй. Питер первый делает ход, и цель состоит в том, чтобы понять, при каком минимальном значении \( S \) Вальтер сможет выиграть сразу после хода Питера.
Шаг 1: Условия выигрыша
Игра прекращается, когда сумма банок в обеих кучках становится 63 или больше. То есть, в любой момент игрок должен стремиться к достижению этой цели.
Шаг 2: Определение начального состояния
В начале:
- Первая кучка: 7 банок
- Вторая кучка: \( S \) банок
Общая сумма: \[ 7 + S \]
Питер делает свой первый ход. Его ходы могут быть следующими:
- Добавить 1 банку в любую из кучек.
- Удвоить количество банок в одной из кучек.
Шаг 3: Определение возможных ходов Питера
Теперь проверим возможные ходы Питера:
Добавление 1 к первой кучке (8, S)
- Сумма: \( 8 + S \)
Добавление 1 ко второй кучке (7, S+1)
- Сумма: \( 7 + (S + 1) = 8 + S \)
Удвоение первой кучки (14, S)
- Сумма: \( 14 + S \)
Удвоение второй кучки (7, 2S)
- Сумма: \( 7 + 2S \)
Итак, после первого хода Питера, возможные состояния будут:
- \( (8, S) \)
- \( (7, S + 1) \)
- \( (14, S) \)
- \( (7, 2S) \)
Шаг 4: Выигрышная стратегия Вальтера
Для того чтобы Вальтер выиграл сразу после хода Питера, он должен сделать ход, который приведет к сумме 63 или более. Рассмотрим все возможности:
После первого хода:
- Если в состоянии \( (8, S) \) или \( (7, S + 1) \), то Вальтер не сможет выиграть, так как сумма будет не более \( 8 + 55 = 63 \). То есть, если \( S \leq 55 \), выиграть он не сможет.
Если Питер делает ход \( (14, S) \), выиграть Вальтер не сможет, если: \[ 14 + S < 63 \implies S < 49 \]
Если первый ход Питера \( (7, 2S) \):
- Вальтер может добавить 1 к первой кучке (8, 2S) или ко второй (7, 2S + 1) или удвоить первую (14, 2S) или вторую (7, 4S). Здесь после умножения на 2 у нас будет: \[ 7 + 4S \geq 63 \implies 4S \geq 56 \implies S \geq 14 \]
Шаг 5: Минимальное значение S
Таким образом, учитывая все вышеизложенные условия, Вальтер может победить только при:
\( S \geq 14 \)
При \( S = 14 \):
- Питер делает ход \( (7, 28) \), сумма 35.
- Вальтер делает ход \( (7, 29) \), сумма 36 – не выиграл.
С увеличением до \( S \): При \( S = 15 \) (он будет выигрышным).
При таком S выходит, что самый быстрый способ Питера проиграть – это при S, когда:
\[ S = 14 \]
Заключение
Таким образом, минимальное значение S, при котором Вальтер может выиграть после первого хода Питера, равно 14.
