2 No 1 Вариант 14 Задания В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, LB = 77°, <= 141°. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах. Deux po Сторона АС треугольника АВС содержит…

Разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1

Дано:

• Четырехугольник ABCD
• AB = BC
• AD = CD
• \(\angle B = 77^\circ\)
• \(\angle D \leq 141^\circ\)

Найти: угол \( \angle A \) (обозначим его <4).

Решение:

1. В выпуклом четырехугольнике сумма всех углов равна \(360^\circ\): \[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

2. Подставляем известные углы: \[ \angle A + 77^\circ + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

3. Поскольку AB = BC и AD = CD, углы противолежащие будут равны. Таким образом, имеем: \[ \angle A = \angle C \]

4. Обозначим угол \( \angle A \) как \( x \), тогда: \[ x + 77^\circ + x + \angle D = 360^\circ \] \[ 2x + 77^\circ + \angle D = 360^\circ \] \[ 2x + \angle D = 283^\circ \]

5. Поскольку \( \angle D \leq 141^\circ \), подставим крайнее значение для \( \angle D \): \[ 2x + 141^\circ \leq 283^\circ \] \[ 2x \leq 142^\circ \] \[ x \leq 71^\circ \]

6. Из выражения \( 2x + \angle D = 283^\circ \) найдем \( x \) при \( \angle D = 141^\circ \): \[ 2x + 141^\circ = 283^\circ \] \[ 2x = 142^\circ \] \[ x = 71^\circ \]

Таким образом, угол \( \angle A < 4 = 71^\circ \).

Задача 2

Дано:

• \( \angle A = 75^\circ \) (в треугольнике ABC)
• Сторона AC содержит центр описанной окружности.

Найти: угол \( C \).

Решение:

1. В треугольнике, где сторона AC содержит центр описанной окружности, выполняется следующий факт: \[ \angle A + \angle C = 90^\circ \]

2. Подставим известное значение угла: \[ 75^\circ + \angle C = 90^\circ \] \[ \angle C = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \]

Таким образом, угол \( C = 15^\circ \).

Задача 3

Дано:

• Длина стороны треугольника \( a = 12 \) (основа)
• Высота \( h = 33 \).

Найти: площадь треугольника.

Решение:

1. Площадь треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = 6 \cdot 33 = 198 \]

Таким образом, площадь треугольника равна \( 198 \) квадратных единиц.

Задача 4

Утверждения:

1. Да, любые два прямоугольных треугольника подобны (по углам).
2. Нет, по теореме Пифагора: \( 6^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow 36 + b^2 = 100 \Rightarrow b^2 = 64 \Rightarrow b = 8 \) (второй катет верен).
3. Да, согласно теореме синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
4. Нет, это неверно. Квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Это формула косинусов.

Правильные утверждения: 1, 2, 3.

Ответ:

Угол <4 = 71°, угол C = 15°, площадь треугольника = 198, верные утверждения: 1, 2, 3.