2
N
1
5
No
1
Вариант 13
Задания
Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите
меньший угол. Ответ дайте в градусах.
реугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Найдите
градусную меру угла С треугольника АВС, если угол АОВ равен 115°.
Ответы
3
peve po
Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.
B
C
4
Daivers.po
На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены
точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС.
Ответ выразите в сантиметрах.
B
Какие из следующих утверждений верны?
1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны
соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.
3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
4) Треугольник ABC, у которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5, является
тупоугольным.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке
возрастания.
Давайте рассмотрим каждую из поставленных задач по порядку и решим их.
### Задача 1: Углы выпуклого четырехугольника
**Условие:** Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол.
**Решение:**
1. Обозначим углы четырехугольника как \(x\), \(2x\), \(3x\), и \(4x\).
2. Известно, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\).
3. Составим уравнение:
\[
x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ
\]
\[
10x = 360^\circ
\]
\[
x = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ
\]
4. Теперь найдем углы:
- Первый угол: \(x = 36^\circ\)
- Второй угол: \(2x = 72^\circ\)
- Третий угол: \(3x = 108^\circ\)
- Четвертый угол: \(4x = 144^\circ\)
5. Меньший угол среди них: \(36^\circ\).
**Ответ:** \(36^\circ\).
---
### Задача 2: Угол треугольника ABC
**Условие:** Угол AOB равен \(115^\circ\). Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O.
**Решение:**
1. Угол AOB является центральным углом, и он соответствует сектору окружности.
2. Угол C (угол при вершине C) является вписанным углом, который может быть связан с углом AOB.
3. Согласно теореме о вписанных углах, угол C равен половине угла AOB:
\[
C = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 115^\circ = 57.5^\circ
\]
**Ответ:** \(57.5^\circ\).
---
### Задача 3: Площадь ромба
**Условие:** Сторона ромба равна \(50\), а диагональ равна \(80\). Найдите площадь ромба.
**Решение:**
1. Для нахождения площади ромба можно воспользоваться формулой:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2
\]
где \(d_1\) и \(d_2\) – диагонали ромба.
2. У нас есть одна диагональ \(d_1 = 80\), но нам нужно найти вторую диагональ \(d_2\). Для этого используем свойство ромба:
\[
a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
Подставим известные значения:
\[
50^2 = \left(\frac{80}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
2500 = 40^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
2500 = 1600 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]
\[
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 2500 - 1600 = 900
\]
\[
\frac{d_2}{2} = 30 \Rightarrow d_2 = 60
\]
3. Теперь можем найти площадь:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 2400
\]
**Ответ:** \(2400\) квадратных единиц.
---
### Задача 4: На клетчатой бумаге
**Условие:** На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \, \text{см} \times 1 \, \text{см}\) найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC.
**Решение:**
1. Обозначим координаты точек A, B и C. Поскольку они не даны, давайте условно примем:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(2, 4)\)
- \(C(6, 0)\)
2. Сначала найдем координаты середины отрезка BC:
\[
M = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (4, 2)
\]
3. Теперь найдем расстояние от точки A до точки M:
\[
d = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47 \, \text{см}
\]
**Ответ:** Приблизительно \(4.47\) см.
---
### Задача 5: Верность утверждений
1. Условия:
1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.
3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.
4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.
**Решение:**
- **Проверка утверждений:**
1) Используем теорему Пифагора: \(6^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow 36 + b^2 = 100 \Rightarrow b^2 = 64 \Rightarrow b = 8\). **Верно.**
2) Не обязательно. Равнобедренные треугольники могут быть разными по углам. **Неверно.**
3) Да, по теоремам о подобии треугольников. **Верно.**
4) Треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный. **Неверно.**
Итак, правильные утверждения: 1 и 3.
**Ответ:** \(1, 3\).
---
Если есть еще вопросы или нужно что-то уточнить, дайте знать!
