Давайте разберёмся с задачей и найдем скорость теплохода.
Данные:
- Расстояние между пунктами A и B: 266 км.
- Теплоход отправляется первым и едет 5 часов.
- Моторная лодка отправляется через 5 часов после теплохода и имеет скорость на 5 км/ч больше, чем скорость теплохода.
- Оба судна прибывают в пункт B одновременно.
Обозначения:
- Пусть скорость теплохода — ( v ) км/ч.
- Тогда скорость моторной лодки будет ( v + 5 ) км/ч.
Шаг 1: Время в пути теплохода
Теплоход едет 5 часов больше, чем лодка:
- Время в пути теплохода: ( t = \frac{266}{v} ) (часы).
- Моторная лодка ехала на 5 часов меньше, следовательно:
[
t_{лодки} = t - 5 = \frac{266}{v} - 5
]
Шаг 2: Время в пути моторной лодки
Теперь, используя скорость лодки, можем выразить время в пути моторной лодки:
[
t_{лодки} = \frac{266}{v + 5}
]
Шаг 3: Уравнение
Так как оба судна прибыли одновременно, мы можем приравнять времена:
[
\frac{266}{v} - 5 = \frac{266}{v + 5}
]
Шаг 4: Решение уравнения
Умножим обе стороны уравнения на ( v(v + 5) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
266(v + 5) - 5v(v + 5) = 266v
]
Раскроем скобки:
[
266v + 1330 - 5v^2 - 25v = 266v
]
Упростим:
[
1330 - 5v^2 - 25v = 0
]
Соберем все в одном уравнении:
[
5v^2 + 25v - 1330 = 0
]
Шаг 5: Делим уравнение на 5
[
v^2 + 5v - 266 = 0
]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -266 ).
Теперь считаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-266) = 25 + 1064 = 1089
]
Теперь находим корни:
[
v = \frac{-5 \pm \sqrt{1089}}{2} = \frac{-5 \pm 33}{2}
]
Находим два значения:
- ( v = \frac{28}{2} = 14 ) (в данном контексте это допустимое значение).
- ( v = \frac{-38}{2} = -19 ) (недопустимое значение, так как скорость не может быть отрицательной).
Ответ
Скорость теплохода составляет 14 км/ч.
