13.22. 13.23. 13.25

Давайте разберем каждую задачу, указанную на изображении. Поскольку цель — понять, приведем подробные объяснения.

Задача 13.22

Найдите и постройте график функции \( y = \sqrt{x+2} \) и \( y = -3x^2 + 8x - 4 \).

1. \( y = \sqrt{x+2} \):

   • Область определения: \( x + 2 \geq 0 \) значит \( x \geq -2 \).
   • График функции — это половина параболы (ветвь параболы), открытая вверх, начиная с точки (-2, 0).

2. \( y = -3x^2 + 8x - 4 \):

   • Это парабола, открытая вниз, так как коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный.
   • Найдем вершину параболы: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-3)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).
   • Подставим \( x = \frac{4}{3} \) в уравнение, чтобы найти \( y \)-координату вершины: \[ y = -3\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 8 \cdot \frac{4}{3} - 4 = -3 \cdot \frac{16}{9} + \frac{32}{3} - 4 = -\frac{48}{9} + \frac{96}{9} - \frac{36}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \]
   • Вершина: \( \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \).

3. Построение графиков:

   • Постройте график полутора циклов правой стороны параболы для \( y = \sqrt{x+2} \).
   • Изобразите нисходящую параболу для \( y = -3x^2 + 8x - 4 \) с вершиной в точке \( \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right) \).

Задача 13.23

Постройте график функции \( y = \frac{1}{x^2} \).

• Это гипербола, где график расположен в областях I и II координатных четвертей, так как функция всегда положительна.
• Для \( x \to 0 \) функция стремится к бесконечности.
• Для очень больших или очень малых значений \( x \), \( y \) приближается к 0.

Задача 13.25

Постройте график функции \( y = \frac{3}{x} \) и найдите точки её пересечения с параболой:

1. \( y = \frac{3}{x} \):

   • Это гипербола с асимптотами на осях.
   • Расположена в I и III четвертях.

2. Пересечение с параболами:

   • \( y = -2x^2 + 3 \):

     • Подставим \( \frac{3}{x} = -2x^2 + 3 \) и решим уравнение.

   • \( y = -2x^2 + 4x \):

     • Аналогично предыдущему, решите методом чисто алгебраического нахождения общих корней, приравняв функции.

К сожалению, проведение точных расчетов в рамках текста не всегда можно осуществить, но это будет означать решение системы нелинейных уравнений.