Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Бернулли и формулу вероятности для биномиального распределения.
Шаг 1: Понимание условий задачи
В задаче говорится, что:
- У нас есть 10 узлов.
- Вероятность того, что каждый узел будет работать безотказно в течение времени ( t ), равна ( p = 0.8 ).
- Следовательно, вероятность того, что узел выйдет из строя, равна ( q = 1 - p = 0.2 ).
- Мы хотим найти вероятность того, что откажут ровно 4 узла.
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Когда мы хотим найти вероятность того, что из ( n ) независимых испытаний (в данном случае узлов) произойдет ровно ( k ) успехов (в данном случае — отказ узлов), мы используем биномиальное распределение:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний. Он рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае вероятность отказа узла, то есть ( q = 0.2 )).
- ( n ) — общее количество узлов (в данном случае ( n = 10 )).
- ( k ) — количество узлов, которые выходят из строя (в нашем случае ( k = 4 )).
Шаг 3: Подставляем значения в формулу
В нашем случае:
- ( n = 10 )
- ( k = 4 )
- ( p = q = 0.2 )
Подставляем данные в формулу:
- Вычисляем биномиальный коэффициент:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
- Вычисляем вероятность:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^{10 - 4}
]
Здесь ( (0.2)^4 = 0.0016 ) и ( (0.8)^{6} \approx 0.262144 ).
Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144
]
[
P(X = 4) \approx 210 \cdot 0.0004194304 \approx 0.088
]
Шаг 4: Итог
Вероятность того, что за время ( t ) откажут ровно 4 узла, составляет примерно ( 0.088 ) или 8.8%.
Таким образом, данная задача поможет вам понять, как использовать биномиальное распределение для вычисления вероятностей в независимых испытаниях.
