Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Бернулли и формулу вероятности для биномиального распределения.

Шаг 1: Понимание условий задачи

В задаче говорится, что:

• У нас есть 10 узлов.
• Вероятность того, что каждый узел будет работать безотказно в течение времени \( t \), равна \( p = 0.8 \).
• Следовательно, вероятность того, что узел выйдет из строя, равна \( q = 1 - p = 0.2 \).
• Мы хотим найти вероятность того, что откажут ровно 4 узла.

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Когда мы хотим найти вероятность того, что из \( n \) независимых испытаний (в данном случае узлов) произойдет ровно \( k \) успехов (в данном случае — отказ узлов), мы используем биномиальное распределение:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который определяет количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний. Он рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае вероятность отказа узла, то есть \( q = 0.2 \)).
• \( n \) — общее количество узлов (в данном случае \( n = 10 \)).
• \( k \) — количество узлов, которые выходят из строя (в нашем случае \( k = 4 \)).

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

В нашем случае:

• \( n = 10 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = q = 0.2 \)

Подставляем данные в формулу:

1. Вычисляем биномиальный коэффициент:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

2. Вычисляем вероятность:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^{10 - 4} \]

Здесь \( (0.2)^4 = 0.0016 \) и \( (0.8)^{6} \approx 0.262144 \).

Теперь подставим эти значения:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144 \] \[ P(X = 4) \approx 210 \cdot 0.0004194304 \approx 0.088 \]

Шаг 4: Итог

Вероятность того, что за время \( t \) откажут ровно 4 узла, составляет примерно \( 0.088 \) или 8.8%.

Таким образом, данная задача поможет вам понять, как использовать биномиальное распределение для вычисления вероятностей в независимых испытаниях.