найти площадь фигуры ограниченной параболой y=4-x^2, прямой y=x+2 и осью ОХ

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 4 - x^2 \), прямой \( y = x + 2 \) и осью \( OX \), мы выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найти точки пересечения кривых

Для начала найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем уравнения:

\[ 4 - x^2 = x + 2 \]

Переносим все на одну сторону уравнения:

\[ 4 - x^2 - x - 2 = 0 \] \[ -x^2 - x + 2 = 0 \]

Умножим обе стороны на -1, чтобы получить более стандартное уравнение:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \). Подставим значения:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, мы получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Шаг 2: Найти площадь фигуры

Зная точки пересечения, мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми и осью \( OX \). Чтобы сделать это, нам нужно вычислить определенный интеграл от верхней функции (парабола) минус нижнюю функцию (прямая) по найденным промежуткам \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \, dx \]

Упростим интеграл:

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) \, dx \] \[ = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx \]

Шаг 3: Вычислить интеграл

Теперь вычислим интеграл:

\[ \int (-x^2 - x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1} \]

Сначала подставим верхний предел \( x = 1 \):

\[ -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{9}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} \] \[ = \frac{-2 + 9}{6} = \frac{7}{6} \]

Теперь подставим нижний предел \( x = -2 \):

\[ -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{12}{3} = \frac{8 - 6 - 12}{3} = \frac{-10}{3} \]

Теперь вычтем значения:

\[ \text{Площадь} = \left(\frac{7}{6}\right) - \left(\frac{-10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \]

Чтобы сложить дроби, приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{10}{3} = \frac{20}{6} \] \[ \text{Площадь} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Ответ

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 4 - x^2 \), прямой \( y = x + 2 \) и осью \( OX \) равна \( \frac{9}{2} \) или 4.5 квадратных единиц.