В кубе ABCDA1B1C1D1 найди угол между плоскостями (A1B1B) и (C1CB).

Для нахождения угла между двумя плоскостями в пространстве, нужно воспользоваться векторами и их нормалями.

Шаг 1: Определим координаты вершин куба

Предположим, что у нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра \( a \). Мы можем задать координаты вершин следующим образом:

• \( A (0, 0, 0) \)
• \( B (a, 0, 0) \)
• \( C (a, a, 0) \)
• \( D (0, a, 0) \)
• \( A1 (0, 0, a) \)
• \( B1 (a, 0, a) \)
• \( C1 (a, a, a) \)
• \( D1 (0, a, a) \)

Шаг 2: Определим плоскости

Плоскость \( A1B1B \):

• Вершины \( A1 (0, 0, a) \), \( B1 (a, 0, a) \) и \( B (a, 0, 0) \).

Плоскость \( C1CB \):

• Вершины \( C1 (a, a, a) \), \( C (a, a, 0) \) и \( B (a, 0, 0) \).

Шаг 3: Найдем векторы для каждой плоскости

Для плоскости \( A1B1B \):

• Векторы:
  • \( \vec{A1B1} = B1 - A1 = (a, 0, a) - (0, 0, a) = (a, 0, 0) \)
  • \( \vec{A1B} = B - A1 = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a) \)

Теперь необходимо найти нормаль к этой плоскости, используя векторное произведение: \[ \vec{n_1} = \vec{A1B1} \times \vec{A1B} \] \[ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & 0 & -a \end{vmatrix} = (0 \cdot (-a) - 0 \cdot 0)\hat{i} - (0 \cdot (-a) - a \cdot 0)\hat{j} + (a \cdot 0 - a \cdot 0)\hat{k} = (0, a^2, 0) \]

Для плоскости \( C1CB \):

• Векторы:
  • \( \vec{C1C} = C - C1 = (a, a, 0) - (a, a, a) = (0, 0, -a) \)
  • \( \vec{C1B} = B - C1 = (a, 0, 0) - (a, a, a) = (0, -a, -a) \)

Нормаль к этой плоскости: \[ \vec{n_2} = \vec{C1C} \times \vec{C1B} \] \[ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & -a \\ 0 & -a & -a \end{vmatrix} = (0 \cdot (-a) - (-a) \cdot 0)\hat{i} - (0 \cdot (-a) - 0 \cdot 0)\hat{j} + (0 \cdot (-a) - (0 \cdot 0))\hat{k} = (a^2, 0, 0) \]

Шаг 4: Найдем угол между нормалями двух плоскостей

Чтобы найти угол \( \phi \) между двумя плоскостями, мы можем использовать формулу косинуса угла:

\[ \cos{\phi} = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

Где \( \vec{n_1} = (0, a^2, 0) \) и \( \vec{n_2} = (a^2, 0, 0) \).

Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot a^2 + a^2 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0 \]

Далее находим длину нормалей: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + (a^2)^2 + 0^2} = a^2 \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{(a^2)^2 + 0^2 + 0^2} = a^2 \]

Теперь подставим это в формулу: \[ \cos{\phi} = \frac{0}{a^2 \cdot a^2} = 0 \] Это значит, что: \[ \phi = 90^\circ \]

Ответ

Угол между плоскостями \( (A1B1B) \) и \( (C1CB) \) равен \( 90^\circ \).