В ящике лежат 8 синих, 6 красных и 4 зелёных носка. Из него случайным образом выбирают 2 носка. С какой вероятностью они будут одного цвета?
Чтобы найти вероятность того, что два случайно выбранных носка будут одного цвета, сначала нужно рассмотреть общее количество носков и количество благоприятных исходов.
Шаг 1: Найти общее количество носков
В ящике лежат:
- 8 синих носков
- 6 красных носков
- 4 зелёных носка
Сложим количество носков: \[ 8 + 6 + 4 = 18 \text{ носков} \]
Шаг 2: Найти количество способов выбрать 2 носка
Нужно рассчитать, сколько различных комбинаций можно получить, выбирая 2 носка из 18. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Здесь \( n \) — общее количество носков (18), \( k \) — количество выбираемых носков (2).
Подставим значения: \[ C(18, 2) = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 153 \]
Шаг 3: Найти количество благоприятных исходов
Теперь нужно найти количество способов выбрать 2 носка одного цвета для каждой группы носков:
Синие носки: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \]
Красные носки: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Зелёные носки: \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
Теперь сложим количество благоприятных исходов: \[ 28 \, (\text{синие}) + 15 \, (\text{красные}) + 6 \, (\text{зелёные}) = 49 \]
Шаг 4: Найти вероятность
Теперь вероятность того, что два выбранных носка будут одного цвета, рассчитывается по формуле: \[ P = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{49}{153} \]
Шаг 5: Упростить дробь (если возможно)
Хотя 49 и 153 не имеют общих делителей, конечная форма будет: \[ P \approx 0.32 \text{ или } 32\% \]
Таким образом, вероятность того, что два случайно выбранных носка будут одного цвета, составляет \( \frac{49}{153} \) или примерно 32%.
