1/(x-3)²-7/(x-3)-18=0
Чтобы решить уравнение \( \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{7}{(x-3)} - 18 = 0 \), начнем с того, что упростим его. Обозначим \( y = \frac{1}{(x-3)} \). Это преобразование поможет нам избавиться от дробей и упростить уравнение.
Теперь перепишем уравнение, подставив \( y \):
\[ y^2 - 7y - 18 = 0 \]
На этом этапе у нас получилось квадратное уравнение. Теперь мы можем решить его с помощью формулы для решения квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = -18 \). Подставим значения:
- Вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \]
- Теперь найдём корни \( y \):
\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 11}{2} \]
Теперь распишем оба случая:
- Первый корень:
\[ y_1 = \frac{18}{2} = 9 \]
- Второй корень:
\[ y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Теперь у нас есть два возможных значения для \( y \):
- \( y = 9 \)
- \( y = -2 \)
Теперь вспомним, что \( y = \frac{1}{x-3} \). Мы можем возвратиться к переменной \( x \).
Для первого случая \( y = 9 \):
\[ \frac{1}{x-3} = 9 \]
Обращаем дробь:
\[ x - 3 = \frac{1}{9} \]
Отсюда:
\[ x = 3 + \frac{1}{9} = \frac{27}{9} + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \]
Теперь для второго случая \( y = -2 \):
\[ \frac{1}{x-3} = -2 \]
Обращаем дробь:
\[ x - 3 = -\frac{1}{2} \]
Отсюда:
\[ x = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Теперь у нас есть два решения для исходного уравнения:
\[ x = \frac{28}{9} \quad \text{и} \quad x = \frac{5}{2} \]
Ответ: \( x = \frac{28}{9} \) или \( x = \frac{5}{2} \).
