1/(x-3)²-7/(x-3)-18=0

Чтобы решить уравнение \( \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{7}{(x-3)} - 18 = 0 \), начнем с того, что упростим его. Обозначим \( y = \frac{1}{(x-3)} \). Это преобразование поможет нам избавиться от дробей и упростить уравнение. Теперь перепишем уравнение, подставив \( y \): \[ y^2 - 7y - 18 = 0 \] На этом этапе у нас получилось квадратное уравнение. Теперь мы можем решить его с помощью формулы для решения квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = -18 \). Подставим значения: 1. Вычислим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \] 2. Теперь найдём корни \( y \): \[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 11}{2} \] Теперь распишем оба случая: - Первый корень: \[ y_1 = \frac{18}{2} = 9 \] - Второй корень: \[ y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] Теперь у нас есть два возможных значения для \( y \): 1. \( y = 9 \) 2. \( y = -2 \) Теперь вспомним, что \( y = \frac{1}{x-3} \). Мы можем возвратиться к переменной \( x \). Для первого случая \( y = 9 \): \[ \frac{1}{x-3} = 9 \] Обращаем дробь: \[ x - 3 = \frac{1}{9} \] Отсюда: \[ x = 3 + \frac{1}{9} = \frac{27}{9} + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \] Теперь для второго случая \( y = -2 \): \[ \frac{1}{x-3} = -2 \] Обращаем дробь: \[ x - 3 = -\frac{1}{2} \] Отсюда: \[ x = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] Теперь у нас есть два решения для исходного уравнения: \[ x = \frac{28}{9} \quad \text{и} \quad x = \frac{5}{2} \] **Ответ:** \( x = \frac{28}{9} \) или \( x = \frac{5}{2} \).