(Б) Решите систему уравнения
Чтобы решить обе системы уравнений, постараемся применить метод подстановки или сложения.
a) Система уравнений:
\[ \begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения: \[ y = 8 - x \]
Шаг 2: Подставим \(y = 8 - x\) во второе уравнение: \[ x(8 - x) = -20 \]
Шаг 3: Раскроем скобки: \[ 8x - x^2 = -20 \]
Шаг 4: Преобразуем в квадратное уравнение: \[ x^2 - 8x - 20 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \]
Шаг 6: Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} \]
\[ x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2 \]
Шаг 7: Подставим значения \(x\) обратно, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 10\): \[ y = 8 - 10 = -2 \]
Если \(x = -2\): \[ y = 8 - (-2) = 10 \]
Ответ: \((x, y) = (10, -2)\) или \((x, y) = (-2, 10)\)
б) Система уравнений:
\[ \begin{cases} x - y = 0.8 \\ xy = 2.4 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения: \[ y = x - 0.8 \]
Шаг 2: Подставим \(y = x - 0.8\) во второе уравнение: \[ x(x - 0.8) = 2.4 \]
Шаг 3: Раскроем скобки: \[ x^2 - 0.8x = 2.4 \]
Шаг 4: Преобразуем в квадратное уравнение: \[ x^2 - 0.8x - 2.4 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D\): \[ D = (-0.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.4) = 0.64 + 9.6 = 10.24 \]
Шаг 6: Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{0.8 \pm \sqrt{10.24}}{2} \]
\[ x_1 = \frac{0.8 + 3.2}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{0.8 - 3.2}{2} = -1.2 \]
Шаг 7: Подставим значения \(x\) обратно, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
Если \(x = 2\): \[ y = 2 - 0.8 = 1.2 \]
Если \(x = -1.2\): \[ y = -1.2 - 0.8 = -2 \]
Ответ: \((x, y) = (2, 1.2)\) или \((x, y) = (-1.2, -2)\)
