Определить, какая выборка: 6, 3, 4, 8, 9 или 2, 6, 3, 7, 5, 7 имеет меньшее рассеяние данных около своего среднего значения (дисперсия).

Чтобы определить, какая из выборок имеет меньшее рассеяние данных (дисперсию), давайте сначала разберем, что такое дисперсия и как мы можем её вычислить.

Дисперсия — это мера того, насколько значения в выборке распределены относительно их среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем больше данные сосредоточены вокруг среднего значения.

Шаг 1: Находим среднее значение для каждой выборки

1. Для первой выборки: 6, 3, 4, 8, 9 \[ \text{Среднее} = \frac{(6 + 3 + 4 + 8 + 9)}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

2. Для второй выборки: 2, 6, 3, 7, 5, 7 \[ \text{Среднее} = \frac{(2 + 6 + 3 + 7 + 5 + 7)}{6} = \frac{30}{6} = 5 \]

Шаг 2: Находим дисперсию для каждой выборки

Дисперсия (σ²) рассчитывается по формуле: \[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \] где \( x_i \) — каждое значение выборки, \( \mu \) — среднее значение выборки, \( N \) — количество значений в выборке.

1. Первая выборка (6, 3, 4, 8, 9):

   • \( \mu = 6 \)

   • Вычисляем \( (x_i - \mu)^2 \):

     • \( (6 - 6)^2 = 0 \)
     • \( (3 - 6)^2 = 9 \)
     • \( (4 - 6)^2 = 4 \)
     • \( (8 - 6)^2 = 4 \)
     • \( (9 - 6)^2 = 9 \)

   • Сумма квадратов: \[ 0 + 9 + 4 + 4 + 9 = 26 \]

   • Дисперсия: \[ \sigma^2 = \frac{26}{5} = 5.2 \]

2. Вторая выборка (2, 6, 3, 7, 5, 7):

   • \( \mu = 5 \)

   • Вычисляем \( (x_i - \mu)^2 \):

     • \( (2 - 5)^2 = 9 \)
     • \( (6 - 5)^2 = 1 \)
     • \( (3 - 5)^2 = 4 \)
     • \( (7 - 5)^2 = 4 \)
     • \( (5 - 5)^2 = 0 \)
     • \( (7 - 5)^2 = 4 \)

   • Сумма квадратов: \[ 9 + 1 + 4 + 4 + 0 + 4 = 22 \]

   • Дисперсия: \[ \sigma^2 = \frac{22}{6} \approx 3.67 \]

Шаг 3: Сравнение дисперсий

• Дисперсия первой выборки: 5.2
• Дисперсия второй выборки: 3.67

Итог

Вторая выборка (2, 6, 3, 7, 5, 7) имеет меньшее рассеяние данных около своего среднего значения (дисперсия ≈ 3.67), чем первая выборка (дисперсия = 5.2).

Таким образом, более однородными являются данные во второй выборке.