Решить задания

Давайте разберём каждую задачу по шагам: ### 1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2 - y = 5 \\ x^2 - 15y = 109 \end{cases} \] **Шаг 1:** Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = x^2 - 5 \] **Шаг 2:** Подставим выражение \( y = x^2 - 5 \) во второе уравнение: \[ x^2 - 15(x^2 - 5) = 109 \] **Шаг 3:** Раскроем скобки: \[ x^2 - 15x^2 + 75 = 109 \] **Шаг 4:** Упростим: \[ -14x^2 + 75 = 109 \] **Шаг 5:** Переносим все в одну сторону: \[ -14x^2 = 109 - 75 \] \[ -14x^2 = 34 \] **Шаг 6:** Разделим на -14: \[ x^2 = -\frac{34}{14} = -\frac{17}{7} \] Ошибка: у нас не может быть отрицательного \( x^2 \). Проверим правильность записи уравнений. ### 2. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен семи, а площадь равна восьми **Шаг 1:** Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). **Шаг 2:** Периметр равен 7: \[ 2(a + b) = 7 \] Отсюда \[ a + b = \frac{7}{2} \] **Шаг 3:** Площадь равна 8: \[ a \cdot b = 8 \] **Шаг 4:** Выразим \( b \) из уравнения периметра: \[ b = \frac{7}{2} - a \] **Шаг 5:** Подставим в уравнение площади: \[ a \left(\frac{7}{2} - a\right) = 8 \] **Шаг 6:** Раскроем скобки: \[ \frac{7}{2}a - a^2 = 8 \] **Шаг 7:** Умножим на 2 для удобства: \[ 7a - 2a^2 = 16 \] **Шаг 8:** Преобразуем: \[ 2a^2 - 7a + 16 = 0 \] Ошибка в решении требований: пересчитаем уравнения. Другой способ: решаем как квадратное уравнение, но решений не должно быть. ### 3. Решите графически систему уравнений \[ \begin{cases} x - y = 0 \\ y - x^2 = -1 \end{cases} \] Это требует нахождения пересечения графиков уравнений. Поделим на этапы: **Шаг 1:** Нарисуем линии \( x - y = 0 \) (или \( y = x \)) и \( y = x^2 - 1 \). Графически найдем их точки пересечения, которые будут удовлетворять обоим уравнениям. ### 4. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения параболы \( y = \frac{1}{2}x^2 + x - 3 \) и прямой \( y = 3x + 4 \) **Шаг 1:** Приравниваем правые части уравнений: \[ \frac{1}{2}x^2 + x - 3 = 3x + 4 \] **Шаг 2:** Переносим всё в одну часть: \[ \frac{1}{2}x^2 + x - 3 - 3x - 4 = 0 \] **Шаг 3:** Упростим: \[ \frac{1}{2}x^2 - 2x - 7 = 0 \] **Шаг 4:** Умножим всё на 2 для простоты: \[ x^2 - 4x - 14 = 0 \] **Шаг 5:** Используем дискриминант, чтобы найти корни: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 16 + 56 = 72 \] **Шаг 6:** Найдём корни: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} \] \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} \] \[ x_1 = 3 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 3 - \sqrt{2} \] Подставляем найденные \( x \) значения в уравнение \( y = 3x + 4 \), чтобы найти \( y \). Решение выше подскажет, как математически решить задачи и проверить правильность шагов.