Найди наименьшее значение функции y = 3 tg ⁡ x − 4 x + 13 y=3tgx−4x+13 на отрезке [ − π 4 ; 0 ] [− 4 π ;0] .

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 3 \tan x - 4x + 13 \) на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\), следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определить область определения функции

Функция \( \tan x \) определена для всех \( x \), кроме тех, у которых \( \cos x = 0 \). На данном отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) функция определена.

Шаг 2: Найти производную функции

Чтобы найти минимальные и максимальные значения функции, нам нужно найти ее производную:

\[ y' = \frac{d}{dx}(3 \tan x - 4x + 13) \]

Используя производную функции тангенса \(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\), получаем:

\[ y' = 3 \sec^2 x - 4 \]

Шаг 3: Найти критические точки

Критическая точка возникает, когда производная равна нулю:

\[ 3 \sec^2 x - 4 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 3 \sec^2 x = 4 \implies \sec^2 x = \frac{4}{3} \implies \cos^2 x = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

На отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) знак косинуса положителен, поэтому:

\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{6} \]

Шаг 4: Проверить границы отрезка

Теперь нужно проверить значения функции на границах интервала и вCritical Point.

1. На левом конце интервала: \( x = -\frac{\pi}{4} \)

\[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 13 \] \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3(-1) + \pi + 13 = -3 + \pi + 13 = \pi + 10 \]

2. На правом конце интервала: \( x = 0 \)

\[ y(0) = 3 \tan(0) - 4(0) + 13 = 0 + 0 + 13 = 13 \]

3. В критической точке: \( x = -\frac{\pi}{6} \)

\[ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 13 \] \[ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{2\pi}{3} + 13 = -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \]

Шаг 5: Сравнить значения

Теперь сравниваем полученные значения:

1. \( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi + 10 \)
2. \( y(0) = 13 \)
3. \( y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \)

Шаг 6: Найти наименьшее значение

Теперь вычислим, какое из значений является наименьшим:

• Приблизительно \( \pi \approx 3.14 \), значит \( \pi + 10 \approx 13.14 \).
• \( -\sqrt{3} \approx -1.73 \), следовательно, \( -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \) нужно вычислить точно:

\[ \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.09 \] \[ -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \approx -1.73 + 2.09 + 13 \approx 13.36 \]

Таким образом:

1. \( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) \approx 13.14 \)
2. \( y(0) = 13 \)
3. \( y\left(-\frac{\pi}{6}\right) \approx 13.36 \)

Заключение

Наименьшее значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) равно:

\[ \boxed{13} \]

Это значение достигается в точке \( x = 0 \).