Найди наименьшее значение функции  y = 3 tg ⁡ x − 4 x + 13 y=3tgx−4x+13 на отрезке [ − π 4 ; 0 ] [− 4 π ;0].

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = 3 \tan x - 4x + 13 \) на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\), следует выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Определить область определения функции Функция \( \tan x \) определена для всех \( x \), кроме тех, у которых \( \cos x = 0 \). На данном отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) функция определена. ### Шаг 2: Найти производную функции Чтобы найти минимальные и максимальные значения функции, нам нужно найти ее производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(3 \tan x - 4x + 13) \] Используя производную функции тангенса \(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\), получаем: \[ y' = 3 \sec^2 x - 4 \] ### Шаг 3: Найти критические точки Критическая точка возникает, когда производная равна нулю: \[ 3 \sec^2 x - 4 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 3 \sec^2 x = 4 \implies \sec^2 x = \frac{4}{3} \implies \cos^2 x = \frac{3}{4} \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] На отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) знак косинуса положителен, поэтому: \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{6} \] ### Шаг 4: Проверить границы отрезка Теперь нужно проверить значения функции на границах интервала и вCritical Point. 1. **На левом конце интервала**: \( x = -\frac{\pi}{4} \) \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 13 \] \[ y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3(-1) + \pi + 13 = -3 + \pi + 13 = \pi + 10 \] 2. **На правом конце интервала**: \( x = 0 \) \[ y(0) = 3 \tan(0) - 4(0) + 13 = 0 + 0 + 13 = 13 \] 3. **В критической точке**: \( x = -\frac{\pi}{6} \) \[ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 13 \] \[ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{2\pi}{3} + 13 = -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \] ### Шаг 5: Сравнить значения Теперь сравниваем полученные значения: 1. \( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi + 10 \) 2. \( y(0) = 13 \) 3. \( y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \) ### Шаг 6: Найти наименьшее значение Теперь вычислим, какое из значений является наименьшим: - Приблизительно \( \pi \approx 3.14 \), значит \( \pi + 10 \approx 13.14 \). - \( -\sqrt{3} \approx -1.73 \), следовательно, \( -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \) нужно вычислить точно: \[ \frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.09 \] \[ -\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + 13 \approx -1.73 + 2.09 + 13 \approx 13.36 \] Таким образом: 1. \( y\left(-\frac{\pi}{4}\right) \approx 13.14 \) 2. \( y(0) = 13 \) 3. \( y\left(-\frac{\pi}{6}\right) \approx 13.36 \) ### Заключение Наименьшее значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) равно: \[ \boxed{13} \] Это значение достигается в точке \( x = 0 \).