В треугольнике АВС проведена высота ВН. Биссектриса угла А делит высоту ВН в отношении 13 : 5, считая от точ-ки В. Найдите длину высоты ВН, если АВ = 26 см.

Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором проведена высота \( BH \) из вершины \( B \) на основание \( AC \). У нас есть данные о том, что биссектрисса угла \( A \) делит высоту \( BH \) в отношении \( 13:5 \), считая от точки \( B \). Также известна длина \( AB = 26 \) см.

1. Обозначим нужные элементы.

Пусть \( BH \) — высота треугольника, тогда обозначим отрезки на высоте:

• \( BH_1 = 13x \) (часть от \( B \) до точки деления),
• \( H_1H = 5x \) (часть от точки деления до точки \( H \)).

2. Общая длина высоты.

Разобьем высоту на две части:

\[ BH = BH_1 + H_1H = 13x + 5x = 18x. \]

3. Условия задачи: свойство биссектрисы.

Согласно свойству биссектрисы, можно записать отношение сторон:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BH_1}{H_1H}. \]

Подставим известные значения:

• \( AB = 26 \) см,
• обозначим \( AC = c \).

Таким образом, имеем:

\[ \frac{26}{c} = \frac{13x}{5x} = \frac{13}{5}. \]

4. Решение уравнения.

Теперь решим это соотношение. Умножим по кресту:

\[ 26 \cdot 5 = 13 \cdot c \quad \Rightarrow \quad 130 = 13c \quad \Rightarrow \quad c = \frac{130}{13} = 10 \text{ см.} \]

5. Подставим найденное значение для нахождения высоты.

Теперь мы можем найти высоту \( BH \):

\[ BH = 18x. \]

Сначала найдем \( x \) из следующего соотношения, использовав отношение:

\[ \text{Полное отношение (13+5) частей} = 18x. \]

С учетом условия, что \( AB = 26 \) см соответствует \( 13 \) частям, мы можем выразить:

\[ 13x = 26 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{26}{13} = 2. \]

6. Нахождение длины высоты.

Теперь подставим значение \( x \) для нахождения \( BH \):

\[ BH = 18x = 18 \cdot 2 = 36 \text{ см.} \]

7. Ответ.

Таким образом, длина высоты \( BH \) равна \( 36 \) см.