2 Примеры: Найдите наибольшее наименьшее значение функции: 1) у = x3 - 3x + 4 на отрезке [- 2; 0]; 2) y = 3x4 - 12x2 + 5 на отрезке [- 2;1]; x 3) y= 2+2 на отрезке [1;4]. Записать…

Давайте решим предложенные вами задачи по очереди. Мы будем искать наибольшее и наименьшее значение функции на заданных отрезках, а также найдем уравнение касательной.

Задача 1: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x + 4 \) на отрезке \([-2; 0]\).

Шаг 1: Найди производную функции

Функция: \[ y = x^3 - 3x + 4 \] Найдем производную \( y' \): \[ y' = 3x^2 - 3 \]

Шаг 2: Найдите критические точки

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ 3x^2 - 3 = 0 \\ x^2 = 1 \\ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] Однако \( x = 1 \) не входит в наш отрезок \([-2; 0]\). Оставляем только \( x = -1 \).

Шаг 3: Подставьте критические точки и концы отрезка

Теперь вычислим значения функции в критической точке и в концах отрезка:

1. \( y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2 \)
2. \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6 \)
3. \( y(0) = 0^3 - 3(0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \)

Шаг 4: Сравните значения

Теперь сравним найденные значения:

• \( y(-2) = 2 \)
• \( y(-1) = 6 \)
• \( y(0) = 4 \)

Наибольшее значение: \( 6 \) (при \( x = -1 \))
Наименьшее значение: \( 2 \) (при \( x = -2 \))

Задача 2: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \( y = 3x^4 - 12x^2 + 5 \) на отрезке \([-2; 1]\).

Шаг 1: Найдите производную функции

Функция: \[ y = 3x^4 - 12x^2 + 5 \] Найдем производную \( y' \): \[ y' = 12x^3 - 24x \]

Шаг 2: Найдите критические точки

Приравняем производную к нулю: \[ 12x(x^2 - 2) = 0 \\ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2} \] Из этих решений лишь \( x = 0 \) подходит под отрезок \([-2; 1]\).

Шаг 3: Подставьте значения в функцию

1. \( y(-2) = 3(-2)^4 - 12(-2)^2 + 5 = 48 - 48 + 5 = 5 \)
2. \( y(0) = 3(0)^4 - 12(0)^2 + 5 = 5 \)
3. \( y(1) = 3(1)^4 - 12(1)^2 + 5 = 3 - 12 + 5 = -4 \)

Шаг 4: Сравните значения

• \( y(-2) = 5 \)
• \( y(0) = 5 \)
• \( y(1) = -4 \)

Наибольшее значение: \( 5 \) (при \( x = -2 \) и \( x = 0 \))
Наименьшее значение: \( -4 \) (при \( x = 1 \))

Задача 3: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \( y = 2 + 2x \) на отрезке \([1; 4]\).

Шаг 1: Находим значение функции на границах отрезка

1. \( y(1) = 2 + 2(1) = 4 \)
2. \( y(4) = 2 + 2(4) = 10 \)

Шаг 2: Сравните значения

• \( y(1) = 4 \)
• \( y(4) = 10 \)

Наибольшее значение: \( 10 \) (при \( x = 4 \))
Наименьшее значение: \( 4 \) (при \( x = 1 \))

Уравнение касательной

Давайте найдем уравнения касательной для двух функций, указанных в первой и второй задаче.

1. Для функции \( y = x^3 - 3x + 4 \) в точке \( x_0 = 2 \):

Найдём производную: \[ y'(x) = 3x^2 - 3 \quad \Rightarrow \quad y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 \] Координаты точки: \[ y(2) = 2^3 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6 \] Уравнение касательной: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \\ y - 6 = 9(x - 2) \\ y = 9x - 18 + 6 \\ y = 9x - 12 \]

2. Для функции \( y = 5x^6 - 3x^2 + 7 \) в точке \( x_0 = 2 \):

Найдём производную: \[ y'(x) = 30x^5 - 6x \quad \Rightarrow \quad y'(2) = 30(2)^5 - 6(2) = 960 - 12 = 948 \] Координаты точки: \[ y(2) = 5(2^6) - 3(2^2) + 7 = 5(64) - 3(4) + 7 = 320 - 12 + 7 = 315 \] Уравнение касательной: \[ y - 315 = 948(x - 2) \\ y = 948x - 1896 + 315 \\ y = 948x - 1581 \]

Таким образом, мы нашли наибольшее и наименьшее значения для каждой функции и уравнения касательных. Если есть ещё какие-либо вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!