Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь ника являются вершинами параллелограмма

Чтобы доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, мы начнем с обозначения вершин четырехугольника. Пусть четырехугольник \(ABCD\). 1. **Обозначим середины сторон:** - Обозначим середину стороны \(AB\) как \(M\). - Обозначим середину стороны \(BC\) как \(N\). - Обозначим середину стороны \(CD\) как \(P\). - Обозначим середину стороны \(DA\) как \(Q\). Таким образом, у нас есть четыре точки: \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\). 2. **Свойства средних линий:** Мы знаем, что \(M\) — это середина отрезка \(AB\), \(N\) — середина отрезка \(BC\), \(P\) — середина отрезка \(CD\), и \(Q\) — середина отрезка \(DA\). 3. **Векторное представление:** Используем векторное представление для удобства: - Пусть вектор точки \(A\) будет обозначаться как \(\vec{a}\), - Пусть вектор точки \(B\) будет обозначаться как \(\vec{b}\), - Пусть вектор точки \(C\) будет обозначаться как \(\vec{c}\), - Пусть вектор точки \(D\) будет обозначаться как \(\vec{d}\). Теперь можем выразить средние точки: - \(\vec{M} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\) - \(\vec{N} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\) - \(\vec{P} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}\) - \(\vec{Q} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}\) 4. **Докажем, что отрезки \(MP\) и \(NQ\) параллельны и равны:** - Найдем векторы \(MP\) и \(NQ\): \[ \vec{MP} = \vec{P} - \vec{M} = \left(\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}\right) - \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right) = \frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b}}{2} \] \[ \vec{NQ} = \vec{Q} - \vec{N} = \left(\frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}\right) - \left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\right) = \frac{\vec{d} + \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{2} \] - Показать, что \(\vec{MP} = -\vec{NQ}\): Сравним \( \vec{MP} \) и \( \vec{NQ} \): \[ \vec{NQ} = \frac{\vec{d} + \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{2} = -\frac{\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = -\vec{MP} \] Это означает, что отрезки \(MP\) и \(NQ\) равны и направлены в противоположные стороны, то есть они параллельны. 5. **Аналогично докажем для отрезков \(MN\) и \(PQ\):** - Найдем векторы \(MN\) и \(PQ\): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2} \] \[ \vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2} - \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} - \vec{c}}{2} = -\frac{\vec{c} - \vec{a}}{2} = -\vec{MN} \] Таким образом, отрезки \(MN\) и \(PQ\) равны и тоже параллельны. 6. **Вывод:** У нас есть две пары противоположных сторон, которые равны и параллельны, а значит, фигура \(MNPQ\) является параллелограммом. Таким образом, мы доказали, что середины сторон произвольного четырехугольника \(ABCD\) действительно являются вершинами параллелограмма \(MNPQ\).