x^2-6x+15

Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 - 6x + 15 = 0\).

Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом квадратного уравнения. Формула дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \(a\), \(b\), и \(c\) — коэффициенты квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 15\).

Подставляем данные в формулу дискриминанта:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24. \]

Так как дискриминант отрицательный (\(D = -24\)), уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что уравнение имеет комплексные корни.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Так как дискриминант отрицательный, подкоренное выражение будет комплексным числом. Корни будут следующими:

\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{2}. \]

Преобразуем \(\sqrt{-24}\) в комплексное число:

\[ \sqrt{-24} = \sqrt{24} \cdot i = 2\sqrt{6} \cdot i. \]

Таким образом, корни будут:

\[ x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{6} \cdot i}{2} = 3 + \sqrt{6} \cdot i, \]

\[ x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{6} \cdot i}{2} = 3 - \sqrt{6} \cdot i. \]

Ответ: уравнение имеет два комплексных корня \(x_1 = 3 + \sqrt{6} \cdot i\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{6} \cdot i\).