Рассмотрим квадратное уравнение (x^2 - 6x + 15 = 0).
Для нахождения корней воспользуемся дискриминантом квадратного уравнения. Формула дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac, ]
где (a), (b), и (c) — коэффициенты квадратного уравнения вида (ax^2 + bx + c = 0). В данном случае (a = 1), (b = -6) и (c = 15).
Подставляем данные в формулу дискриминанта:
[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24. ]
Так как дискриминант отрицательный ((D = -24)), уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что уравнение имеет комплексные корни.
Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]
Так как дискриминант отрицательный, подкоренное выражение будет комплексным числом. Корни будут следующими:
[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{-24}}{2}. ]
Преобразуем (\sqrt{-24}) в комплексное число:
[ \sqrt{-24} = \sqrt{24} \cdot i = 2\sqrt{6} \cdot i. ]
Таким образом, корни будут:
[ x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{6} \cdot i}{2} = 3 + \sqrt{6} \cdot i, ]
[ x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{6} \cdot i}{2} = 3 - \sqrt{6} \cdot i. ]
Ответ: уравнение имеет два комплексных корня (x_1 = 3 + \sqrt{6} \cdot i) и (x_2 = 3 - \sqrt{6} \cdot i).
