Для решения данной задачи рассмотрим каждое из предложенных утверждений.
Утверждение 1:
"Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два равных треугольника."
Это утверждение неверно. Высота из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два меньших треугольника, но они не обязательно равны. Каждый из этих треугольников будет тоже прямоугольным, но их размеры будут зависеть от длины сторон исходного треугольника.
Утверждение 2:
"Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой."
Это утверждение верно. Если провести высоту из вершины прямого угла к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, то эта высота делит гипотенузу на два отрезка, которые можно обозначить как ( a ) и ( b ). Высота ( h ) будет средним пропорциональным для отрезков ( a ) и ( b ), что можно записать как:
[
h^2 = a \cdot b
]
Утверждение 3:
"Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины острого угла."
Это также утверждение верно. Если у нас есть прямоугольный треугольник с катетом ( c ), гипотенузой ( AB ) и отрезком гипотенузы ( AD ), который находится между катетом и высотой, то согласно теореме о средних пропорциональных:
[
c^2 = AB \cdot AD
]
Вывод:
Таким образом, верные утверждения — это второе и третье.
- Правильные утверждения:
- Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
- Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины острого угла.
