Радиус окружности с центром в точке O равен 75, длина хорды AB равна 90 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Для решения задачи, давайте сначала проанализируем данные:
- Радиус окружности \( R = 75 \) см.
- Длина хорды \( AB = 90 \) см.
Нам нужно найти расстояние от хорды \( AB \) до параллельной ей касательной \( k \).
Найдем расстояние от центра окружности до хорды. Обозначим расстояние от центра \( O \) до хорды \( AB \) как \( d \).
Используем свойство хорд: перпендикуляр к хордe, проведённый из центра окружности, делит хорд на две равные части. Таким образом, мы можем обозначить \( M \) как точку на хордe \( AB \), которая является её серединой.
Тогда длина отрезков \( AM \) и \( MB \) будет равна: \[ AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{90}{2} = 45 \, \text{см}. \]
Согласно теореме о расстоянии от центра окружности до хорд, у нас есть следующая формула: \[ R^2 = d^2 + AM^2. \] Подставим известные значения: \[ 75^2 = d^2 + 45^2. \]
Это можно записать как: \[ 5625 = d^2 + 2025, \] где \( 75^2 = 5625 \) и \( 45^2 = 2025 \).
Теперь решим это уравнение для \( d^2 \): \[ d^2 = 5625 - 2025 = 3600. \]
Найдем \( d \): \[ d = \sqrt{3600} = 60 \, \text{см}. \]
Теперь, зная расстояние от центра окружности до хорды \( AB \) (то есть \( d = 60 \) см), можем определить расстояние от хорды до параллельной касательной \( k \).
- Расстояние от хорд до касательной равно \( R - d \): \[ \text{Расстояние} = R - d = 75 - 60 = 15 \, \text{см}. \]
Таким образом, расстояние от хорды \( AB \) до параллельной касательной \( k \) равно 15 см.
