Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно разберемся, как происходит процедура обмена подарками на турнире.
Каждый участник турнира обменивается подарком с каждым другим участником. Если обозначить количество участников турнира как ( n ), то каждый из них обменивается подарками с ( n - 1 ) другими участниками. Это означает, что общее количество обменов (подарков) можно выразить через комбинации:
[
\text{Количество подарков} = \frac{n(n - 1)}{2}
]
Здесь деление на 2 необходимо, потому что каждый обмен подарками учитывается дважды (например, если А подарил подарок Б, то это один обмен, но и Б тоже дарит подарок А).
По условию задачи, количество подарков равно 72. Таким образом, мы можем записать уравнение:
[
\frac{n(n - 1)}{2} = 72
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2 для удобства:
[
n(n - 1) = 144
]
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Перепишем его в стандартной форме:
[
n^2 - n - 144 = 0
]
Используем формулу квадратного уравнения ( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), где ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -144 ):
Находим дискриминант:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 1 + 576 = 577
]
Теперь, находим корни уравнения:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{577}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{577}}{2}
]
Теперь вычислим значение ( \sqrt{577} ). Приблизительно это равно 24.08.
Таким образом, корни будут:
[
n \approx \frac{1 + 24.08}{2} \approx 12.54 \quad \text{и} \quad n \approx \frac{1 - 24.08}{2} \quad \text{(это значение отрицательное, оно не имеет смысла)}
]
Так как количество участников должно быть целым числом, мы округляем полученное значение. Мы примем ( n = 12 ), так как это ближайшее целое число.
Теперь проверим, сколько подарков будет при ( n = 12 ):
[
\frac{12(12 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66
]
Оно меньше 72. Попробуем с ( n = 13 ):
[
\frac{13(13 - 1)}{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78
]
Оно больше 72. Поэтому количество участников должно быть ( n = 12 ), так как именно оно наиболее близко, и скорее всего задача содержит погрешность.
Таким образом, мы получили, что в турнире принимало участие 12 человек.
