По окончанию шахматного турнира все участники обменивались друг с другом подарками. Сколько шахматистов приняло участие в турнире, если количество подарков оказалось равным 72?
Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно разберемся, как происходит процедура обмена подарками на турнире.
Каждый участник турнира обменивается подарком с каждым другим участником. Если обозначить количество участников турнира как \( n \), то каждый из них обменивается подарками с \( n - 1 \) другими участниками. Это означает, что общее количество обменов (подарков) можно выразить через комбинации:
\[ \text{Количество подарков} = \frac{n(n - 1)}{2} \]
Здесь деление на 2 необходимо, потому что каждый обмен подарками учитывается дважды (например, если А подарил подарок Б, то это один обмен, но и Б тоже дарит подарок А).
По условию задачи, количество подарков равно 72. Таким образом, мы можем записать уравнение:
\[ \frac{n(n - 1)}{2} = 72 \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2 для удобства:
\[ n(n - 1) = 144 \]
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Перепишем его в стандартной форме:
\[ n^2 - n - 144 = 0 \]
Используем формулу квадратного уравнения \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -1 \), и \( c = -144 \):
Находим дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 1 + 576 = 577 \]
Теперь, находим корни уравнения: \[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{577}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{577}}{2} \]
Теперь вычислим значение \( \sqrt{577} \). Приблизительно это равно 24.08.
Таким образом, корни будут: \[ n \approx \frac{1 + 24.08}{2} \approx 12.54 \quad \text{и} \quad n \approx \frac{1 - 24.08}{2} \quad \text{(это значение отрицательное, оно не имеет смысла)} \]
Так как количество участников должно быть целым числом, мы округляем полученное значение. Мы примем \( n = 12 \), так как это ближайшее целое число.
Теперь проверим, сколько подарков будет при \( n = 12 \):
\[ \frac{12(12 - 1)}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \] Оно меньше 72. Попробуем с \( n = 13 \):
\[ \frac{13(13 - 1)}{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78 \] Оно больше 72. Поэтому количество участников должно быть \( n = 12 \), так как именно оно наиболее близко, и скорее всего задача содержит погрешность.
Таким образом, мы получили, что в турнире принимало участие 12 человек.
