Log0,5 (4x-7) < log0,5 (x+2)

Чтобы решить неравенство \( \log_{0.5} (4x - 7) < \log_{0.5} (x + 2) \), давайте следовать шаг за шагом. ### Шаг 1: Использование свойств логарифмов Логарифмы с основанием меньше 1 (в данном случае 0.5) имеют свойство, что неравенство меняет направление при отбросе логарифмов. Это означает, что: \[ 4x - 7 > x + 2 \] ### Шаг 2: Упростим неравенство Теперь у нас есть простое неравенство, которое нужно решить: \[ 4x - 7 > x + 2 \] Переносим все \(x\) на одну сторону и числа на другую: \[ 4x - x > 2 + 7 \] \[ 3x > 9 \] ### Шаг 3: Делим обе стороны на 3 Теперь делим обе стороны на 3: \[ x > 3 \] ### Шаг 4: Проверка условий Кроме того, необходимо учитывать, что выражения внутри логарифмов должны быть положительными: 1. Для \(4x - 7 > 0\): \[ 4x > 7 \implies x > \frac{7}{4} = 1.75 \] 2. Для \(x + 2 > 0\): \[ x > -2 \] ### Шаг 5: Объединяем условия Теперь у нас есть два условия: - \(x > 3\) - \(x > 1.75\) - \(x > -2\) Наиболее строгое условие — это \(x > 3\). ### Заключение Таким образом, окончательный ответ: \[ x > 3 \] Это значит, что все \(x\), больше 3, удовлетворяют первоначальному неравенству.