log0,5 (4x-7) < log0,5 (x+2)

Чтобы решить неравенство \( \log_{0.5} (4x - 7) < \log_{0.5} (x + 2) \), давайте следовать шаг за шагом.

Шаг 1: Использование свойств логарифмов

Логарифмы с основанием меньше 1 (в данном случае 0.5) имеют свойство, что неравенство меняет направление при отбросе логарифмов. Это означает, что:

\[ 4x - 7 > x + 2 \]

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь у нас есть простое неравенство, которое нужно решить:

\[ 4x - 7 > x + 2 \]

Переносим все \(x\) на одну сторону и числа на другую:

\[ 4x - x > 2 + 7 \] \[ 3x > 9 \]

Шаг 3: Делим обе стороны на 3

Теперь делим обе стороны на 3:

\[ x > 3 \]

Шаг 4: Проверка условий

Кроме того, необходимо учитывать, что выражения внутри логарифмов должны быть положительными:

1. Для \(4x - 7 > 0\): \[ 4x > 7 \implies x > \frac{7}{4} = 1.75 \]

2. Для \(x + 2 > 0\): \[ x > -2 \]

Шаг 5: Объединяем условия

Теперь у нас есть два условия:

• \(x > 3\)
• \(x > 1.75\)
• \(x > -2\)

Наиболее строгое условие — это \(x > 3\).

Заключение

Таким образом, окончательный ответ:

\[ x > 3 \]

Это значит, что все \(x\), больше 3, удовлетворяют первоначальному неравенству.