{x-y=4 {xy=5

Чтобы решить данную систему уравнений, давайте запишем ее еще раз:

1. \( x - y = 4 \) (Уравнение 1)
2. \( xy = 5 \) (Уравнение 2)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Сначала мы можем выразить переменную \( y \) через переменную \( x \) из первого уравнения:

\[ y = x - 4 \]

Шаг 2: Подставим выражение в другое уравнение

Теперь подставим значение \( y \) из первого уравнения во второе уравнение:

\[ x(x - 4) = 5 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 4x = 5 \]

Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду

Для этого перенесем 5 в левую часть:

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем наши значения \( a = 1, b = -4, D = 36 \):

\[ x = \frac{-(-4) \pm 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2} \]

Шаг 5: Найдем значения \( x \)

Теперь найдем два корня:

1. \( x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
2. \( x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Шаг 6: Найдем соответствующие значения \( y \)

Теперь вычислим \( y \) для каждого найденного значения \( x \).

1. Если \( x = 5 \): \[ y = 5 - 4 = 1 \]

2. Если \( x = -1 \): \[ y = -1 - 4 = -5 \]

Результат

Таким образом, мы получили два решения системы уравнений:

1. \( (x, y) = (5, 1) \)
2. \( (x, y) = (-1, -5) \)

Проверка

Теперь проверим, подходят ли найденные пары под исходные уравнения:

1. Для \( (5, 1) \):

   • \( 5 - 1 = 4 \) (входит)
   • \( 5 \cdot 1 = 5 \) (входит)

2. Для \( (-1, -5) \):

   • \( -1 - (-5) = -1 + 5 = 4 \) (входит)
   • \( -1 \cdot -5 = 5 \) (входит)

Оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ

Система имеет два решения: \( (5, 1) \) и \( (-1, -5) \).