Решим задачу о равностороннем треугольнике, где известна длина медианы.
Шаг 1: Определим связь между стороной треугольника и длиной медианы
В равностороннем треугольнике медиана, проведенная из любой вершины, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника и равна ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) от длины стороны.
Обозначим длину стороны равностороннего треугольника как ( a ). По свойству медианы мы знаем, что:
[
m = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
где ( m ) — длина медианы.
Шаг 2: Подставим известные значения
В нашей задаче медиана равна 7 см:
[
7 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Шаг 3: Найдем сторону треугольника
Теперь нам нужно выразить ( a ):
[
a = \frac{7 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}}
]
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{14\sqrt{3}}{3} \text{ см}
]
Шаг 4: Найдем площадь треугольника
Площадь ( S ) равностороннего треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Теперь подставим найденную длину стороны ( a ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{14\sqrt{3}}{3} \right)^2
]
Вычислим ( a^2 ):
[
a^2 = \left( \frac{14\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{196 \cdot 3}{9} = \frac{588}{9} = \frac{196}{3}
]
Теперь найдём площадь:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{196}{3} = \frac{196\sqrt{3}}{12} = \frac{49\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2
]
Ответ
Длина стороны равностороннего треугольника ( ABC ) составляет ( \frac{14\sqrt{3}}{3} ) см, а его площадь равна ( \frac{49\sqrt{3}}{3} ) см².
