Для решения задачи нам нужно найти вероятность того, что в гараже в ближайший день будет не менее 10 автомобилей на линии. Эта задача может быть решена с помощью биномиального распределения.
Шаг 1: Понимание условия задачи.
У нас есть 12 автомобилей. Вероятность ( p ) того, что каждый из них выходит на линию, равна 0,9. Необходимо определить, с какой вероятностью мы получим 10, 11 или 12 автомобилей на линии.
Шаг 2: Определение параметров.
- Общее количество испытаний (автомобилей): ( n = 12 )
- Вероятность успеха (автомобиль на линии): ( p = 0.9 )
- Вероятность неуспеха (автомобиль не на линии): ( q = 1 - p = 0.1 )
Сначала мы посмотрим на вероятность того, что:
- ровно 10 автомобилей на линии,
- ровно 11 автомобилей на линии,
- ровно 12 автомобилей на линии.
Шаг 3: Использование формулы биномиального распределения.
Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент (\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} )
- ( p ) — вероятность успеха
- ( q ) — вероятность неуспеха
- ( n ) — общее количество испытаний
- ( k ) — число успехов
Шаг 4: Вычисления.
Теперь подставим значения для 10, 11 и 12 автомобилей:
Вероятность того, что 10 автомобилей на линии:
[
P(X = 10) = C(12, 10) \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2}
]
[
C(12, 10) = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66
]
[
P(X = 10) = 66 \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2} \approx 66 \cdot 0.3487 \cdot 0.01 \approx 0.2304
]
Вероятность того, что 11 автомобилей на линии:
[
P(X = 11) = C(12, 11) \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^{1}
]
[
C(12, 11) = 12
]
[
P(X = 11) = 12 \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^{1} \approx 12 \cdot 0.3138 \cdot 0.1 \approx 0.3765
]
Вероятность того, что 12 автомобилей на линии:
[
P(X = 12) = C(12, 12) \cdot (0.9)^{12} \cdot (0.1)^{0}
]
[
C(12, 12) = 1
]
[
P(X = 12) = 1 \cdot (0.9)^{12} \cdot (1) \approx 0.2824
]
Шаг 5: Общая вероятность.
Теперь складываем вероятности для 10, 11 и 12 автомобилей:
[
P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)
]
[
P(X \geq 10) \approx 0.2304 + 0.3765 + 0.2824 \approx 0.8893
]
Ответ:
Вероятность нормальной работы гаража в ближайший день, то есть наличие не менее 10 автомобилей на линии, составляет приблизительно 0.8893 или 88.93%.
