В гараже имеется 12 автомобилей. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,9. Найдите вероятность нормальной работы гаража в ближайший день, если для этого необходимо…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы вы смогли понять каждый этап.

Дано:

• В гараже 12 автомобилей.
• Вероятность того, что каждый автомобиль выйдет на линию, равна 0,9.
• Нам нужно найти вероятность того, что на линии окажется не менее 10 автомобилей.

Шаг 1: Определяем распределение вероятностей. Поскольку каждый автомобиль может выходить на линию или не выходить, эта задача хорошо описывается биномиальным распределением.

Формула для биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 12 автомобилей),
• \( k \) — количество успешных результатов (число автомобилей, которые вышли на линию),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0,9),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который считается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 2: Вычисляем вероятность для \( k = 10, 11, 12 \). Мы ищем вероятность нормальной работы гаража, то есть \( P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \).

1) Находим \( P(X = 10) \): \[ C(12, 10) = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 \] \[ P(X = 10) = C(12, 10) \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2} = 66 \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2} \]

Теперь вычислим: \[ (0.9)^{10} \approx 0.3487 \] \[ (0.1)^{2} = 0.01 \] Таким образом: \[ P(X = 10) \approx 66 \cdot 0.3487 \cdot 0.01 \approx 0.2293 \]

2) Находим \( P(X = 11) \): \[ C(12, 11) = \frac{12!}{11!1!} = 12 \] \[ P(X = 11) = C(12, 11) \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^{1} = 12 \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1) \] Теперь вычислим: \[ (0.9)^{11} \approx 0.3138 \] Таким образом: \[ P(X = 11) \approx 12 \cdot 0.3138 \cdot 0.1 \approx 0.3765 \]

3) Находим \( P(X = 12) \): \[ C(12, 12) = 1 \] \[ P(X = 12) = C(12, 12) \cdot (0.9)^{12} \cdot (0.1)^{0} = 1 \cdot (0.9)^{12} \] Теперь вычислим: \[ (0.9)^{12} \approx 0.2824 \]

Шаг 3: Суммируем вероятности. Теперь сложим все вероятности:

\[ P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \approx 0.2293 + 0.3765 + 0.2824 \approx 0.8882 \]

Ответ: Вероятность того, что в гараже на линии будет не менее 10 автомобилей, составляет примерно 0,8882 или 88,82%.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!