Давайте решим задачу пошагово, чтобы вы смогли понять каждый этап.
Дано:
- В гараже 12 автомобилей.
- Вероятность того, что каждый автомобиль выйдет на линию, равна 0,9.
- Нам нужно найти вероятность того, что на линии окажется не менее 10 автомобилей.
Шаг 1: Определяем распределение вероятностей.
Поскольку каждый автомобиль может выходить на линию или не выходить, эта задача хорошо описывается биномиальным распределением.
Формула для биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае 12 автомобилей),
- ( k ) — количество успешных результатов (число автомобилей, которые вышли на линию),
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае 0,9),
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который считается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 2: Вычисляем вероятность для ( k = 10, 11, 12 ).
Мы ищем вероятность нормальной работы гаража, то есть ( P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) ).
1) Находим ( P(X = 10) ):
[
C(12, 10) = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66
]
[
P(X = 10) = C(12, 10) \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2} = 66 \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^{2}
]
Теперь вычислим:
[
(0.9)^{10} \approx 0.3487
]
[
(0.1)^{2} = 0.01
]
Таким образом:
[
P(X = 10) \approx 66 \cdot 0.3487 \cdot 0.01 \approx 0.2293
]
2) Находим ( P(X = 11) ):
[
C(12, 11) = \frac{12!}{11!1!} = 12
]
[
P(X = 11) = C(12, 11) \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^{1} = 12 \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)
]
Теперь вычислим:
[
(0.9)^{11} \approx 0.3138
]
Таким образом:
[
P(X = 11) \approx 12 \cdot 0.3138 \cdot 0.1 \approx 0.3765
]
3) Находим ( P(X = 12) ):
[
C(12, 12) = 1
]
[
P(X = 12) = C(12, 12) \cdot (0.9)^{12} \cdot (0.1)^{0} = 1 \cdot (0.9)^{12}
]
Теперь вычислим:
[
(0.9)^{12} \approx 0.2824
]
Шаг 3: Суммируем вероятности.
Теперь сложим все вероятности:
[
P(X \geq 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \approx 0.2293 + 0.3765 + 0.2824 \approx 0.8882
]
Ответ:
Вероятность того, что в гараже на линии будет не менее 10 автомобилей, составляет примерно 0,8882 или 88,82%.
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!
