Чтобы найти площадь боковой и полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды SABCD, давайте разберем задачу пошагово.
Шаг 1: Определим элементы пирамиды
- Основание: Четырехугольник ABCD, который является квадратом. Поскольку AВ = 4 см, следовательно, все стороны основания равны 4 см.
- Высота: высота пирамиды SO = 2√3 см, где O — центр основания (средняя точка квадрата).
Шаг 2: Найдем площадь основания
Площадь квадрата можно вычислить по формуле:
[
S_{основания} = a^2,
]
где (a) — длина стороны квадрата. В нашем случае:
[
S_{основания} = 4^2 = 16 \text{ см}^2.
]
Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности
Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Мы найдем площадь одного из боковых треугольников (например, треугольник SAB) и затем умножим на 4.
- Основание треугольника SAB: это длина стороны основания, т.е. AB = 4 см.
- Высота треугольника: это отрезок SO, который соединяет вершину пирамиды с центром основания O. Нам нужно найти высоту треугольника от вершины S до стороны AB.
Первоначально определим расстояние от точки O до стороны AB. Поскольку O — центр квадрата, а сторона квадрата имеет длину 4 см, то расстояние от O до AB равно половине длины стороны квадрата:
[
d_{OB} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}.
]
Теперь найдем высоту треугольника SAB:
[
h_{SAB} = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{(2√3)^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}.
]
Теперь найдем площадь одного бокового треугольника SAB:
[
S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2.
]
Таким образом, общая площадь боковой поверхности:
[
S_{боковая} = 4 \cdot S_{SAB} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2.
]
Шаг 4: Найдем полную поверхность пирамиды
Полная поверхность состоит из площади основания и площади боковой поверхности:
[
S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая} = 16 + 32 = 48 \text{ см}^2.
]
Ответ
- Площадь боковой поверхности пирамиды: (32 \text{ см}^2).
- Площадь полной поверхности пирамиды: (48 \text{ см}^2).
