В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ=4см, высота SO=2V3 см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.

Чтобы найти площадь боковой и полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды SABCD, давайте разберем задачу пошагово.

Шаг 1: Определим элементы пирамиды

• Основание: Четырехугольник ABCD, который является квадратом. Поскольку AВ = 4 см, следовательно, все стороны основания равны 4 см.
• Высота: высота пирамиды SO = 2√3 см, где O — центр основания (средняя точка квадрата).

Шаг 2: Найдем площадь основания

Площадь квадрата можно вычислить по формуле: \[ S_{основания} = a^2, \] где \(a\) — длина стороны квадрата. В нашем случае: \[ S_{основания} = 4^2 = 16 \text{ см}^2. \]

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности

Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Мы найдем площадь одного из боковых треугольников (например, треугольник SAB) и затем умножим на 4.

• Основание треугольника SAB: это длина стороны основания, т.е. AB = 4 см.
• Высота треугольника: это отрезок SO, который соединяет вершину пирамиды с центром основания O. Нам нужно найти высоту треугольника от вершины S до стороны AB.

Первоначально определим расстояние от точки O до стороны AB. Поскольку O — центр квадрата, а сторона квадрата имеет длину 4 см, то расстояние от O до AB равно половине длины стороны квадрата: \[ d_{OB} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}. \]

Теперь найдем высоту треугольника SAB: \[ h_{SAB} = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{(2√3)^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}. \]

Теперь найдем площадь одного бокового треугольника SAB: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2. \]

Таким образом, общая площадь боковой поверхности: \[ S_{боковая} = 4 \cdot S_{SAB} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2. \]

Шаг 4: Найдем полную поверхность пирамиды

Полная поверхность состоит из площади основания и площади боковой поверхности: \[ S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая} = 16 + 32 = 48 \text{ см}^2. \]

Ответ

• Площадь боковой поверхности пирамиды: \(32 \text{ см}^2\).
• Площадь полной поверхности пирамиды: \(48 \text{ см}^2\).