31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? Выберите верный вариант ответа: Выберите правильный ответ 3 303 000 рублей 3 540 000 рублей 3 993 000 рублей 3 399 000 рублей

Для решения задачи о выплате кредита с процентами, давайте сначала разберемся, как работает схема выплат. Сергей взял кредит на 9,930,000 рублей под 10% годовых и планирует выплачивать его тремя равными ежегодными платежами. ### Шаг 1: Определение формирования долга Каждый год банк увеличивает остаток долга на 10%, а затем Сергей делает ежегодный платеж. Это можно представить так: 1. В конце первого года (31 декабря 2014) долг увеличивается на 10%, а потом делается платеж. 2. В конце второго года (31 декабря 2015) долг снова увеличивается на 10%, а затем делается второй платеж. 3. В конце третьего года (31 декабря 2016) долг снова увеличивается на 10%, и тогда делается третий и последний платеж. Обозначим ежегодный платеж через \(P\). Долговая ситуация будет выглядеть так: - **Конец первого года:** - Долг до платежа: \( 9 930 000 \times 1.1 = 10 923 000 \) - Долг после платежа: \( 10 923 000 - P \) - **Конец второго года:** - Долг до платежа: \( (10 923 000 - P) \times 1.1 \) - Долг после платежа: \( (10 923 000 - P) \times 1.1 - P \) - **Конец третьего года:** - Долг до платежа: \( [(10 923 000 - P) \times 1.1 - P] \times 1.1 \) - Долг после платежа: \( [(10 923 000 - P) \times 1.1 - P] \times 1.1 - P \) ### Шаг 2: Определение уравнения После третьего платежа долг должен быть равен нулю. Запишем уравнение: \[ [( (10 923 000 - P) \times 1.1 - P) \times 1.1 - P ] = 0 \] ### Шаг 3: Упрощение уравнения Подставим и упростим уравнение: 1. Посчитаем долг после первого платежа: \[ D_1 = 10 923 000 - P \] 2. Посчитаем долг после второго платежа: \[ D_2 = D_1 \times 1.1 - P = (10 923 000 - P) \times 1.1 - P \] Упрощаем: \[ D_2 = 10 923 000 \times 1.1 - 1.1P - P = 12 015 300 - 2.1P \] 3. Посчитаем долг после третьего платежа: \[ D_3 = D_2 \times 1.1 - P = (12 015 300 - 2.1P) \times 1.1 - P \] Упрощаем: \[ D_3 = 12 015 300 \times 1.1 - 2.1P \times 1.1 - P = 13 217 830 - 2.31P - P = 13 217 830 - 3.31P \] ### Шаг 4: Определение значения P Теперь составим уравнение для третьего платежа: \[ 13 217 830 - 3.31P = 0 \] Решим это уравнение: \[ 3.31P = 13 217 830 \\ P = \frac{13 217 830}{3.31} \approx 3 996 000 \] ### Шаг 5: Сравнение с вариантами ответов Приближенное значение не совпадает с вариантами ответов. Однако, оно близко к 3,993,000 рублей, что представляется правильным выбором. ### Ответ Таким образом, сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплачивал долг тремя равными платежами, составляет **3 993 000 рублей**.