Ь

Давай разберем уравнение: \[ \frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3 \] ### Шаг 1: Упростим вторую дробь Первое, что заметим, это знаменатель \(1 - x\). Его можно записать как \(-(x - 1)\). Это позволяет переписать дробь как: \[ \frac{30}{1-x} = \frac{30}{-(x-1)} = -\frac{30}{x-1} \] Теперь уравнение принимает вид: \[ \frac{16}{x-3} - \frac{30}{x-1} = 3 \] ### Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю Общий знаменатель для \((x-3)\) и \((x-1)\) будет \((x-3)(x-1)\). Переписываем уравнение с общим знаменателем: \[ \frac{16(x-1)}{(x-3)(x-1)} - \frac{30(x-3)}{(x-3)(x-1)} = 3 \] Теперь можно объединить дроби: \[ \frac{16(x-1) - 30(x-3)}{(x-3)(x-1)} = 3 \] ### Шаг 3: Упрощение числителя Раскроем скобки в числителе: - \(16(x-1) = 16x - 16\) - \(-30(x-3) = -30x + 90\) Объединим: \[ 16x - 16 - 30x + 90 = -14x + 74 \] ### Шаг 4: Решаем уравнение Подставляем обратно в уравнение: \[ \frac{-14x + 74}{(x-3)(x-1)} = 3 \] Умножим обе стороны на \((x-3)(x-1)\), чтобы избавиться от дроби: \[ -14x + 74 = 3(x-3)(x-1) \] Раскроем скобки справа: \[ 3(x-3)(x-1) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9 \] Теперь уравнение: \[ -14x + 74 = 3x^2 - 12x + 9 \] ### Шаг 5: Перенос и упрощение Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 3x^2 - 12x + 9 + 14x - 74 \] Упрощаем: \[ 0 = 3x^2 + 2x - 65 \] Теперь решаем квадратное уравнение: \[ 3x^2 + 2x - 65 = 0 \] ### Шаг 6: Решение квадратного уравнения Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-65) = 4 + 780 = 784 \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{784} = 28 \] Решения: \[ x_1 = \frac{-2 + 28}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 28}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \] ### Проверка Проверим, не обращают ли знаменатели дробей в ноль: - Для \(x = \frac{13}{3}\): Значения \((x-3)\) и \((x-1)\) не равны нулю. - Для \(x = -5\): Значения \((x-3)\) и \((x-1)\) также не равны нулю. ### Ответ Решения уравнения: \(x = \frac{13}{3}\) и \(x = -5\).