Ь

Давай разберем уравнение:

\[ \frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3 \]

Шаг 1: Упростим вторую дробь

Первое, что заметим, это знаменатель \(1 - x\). Его можно записать как \(-(x - 1)\). Это позволяет переписать дробь как:

\[ \frac{30}{1-x} = \frac{30}{-(x-1)} = -\frac{30}{x-1} \]

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \frac{16}{x-3} - \frac{30}{x-1} = 3 \]

Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю

Общий знаменатель для \((x-3)\) и \((x-1)\) будет \((x-3)(x-1)\).

Переписываем уравнение с общим знаменателем:

\[ \frac{16(x-1)}{(x-3)(x-1)} - \frac{30(x-3)}{(x-3)(x-1)} = 3 \]

Теперь можно объединить дроби:

\[ \frac{16(x-1) - 30(x-3)}{(x-3)(x-1)} = 3 \]

Шаг 3: Упрощение числителя

Раскроем скобки в числителе:

• \(16(x-1) = 16x - 16\)
• \(-30(x-3) = -30x + 90\)

Объединим:

\[ 16x - 16 - 30x + 90 = -14x + 74 \]

Шаг 4: Решаем уравнение

Подставляем обратно в уравнение:

\[ \frac{-14x + 74}{(x-3)(x-1)} = 3 \]

Умножим обе стороны на \((x-3)(x-1)\), чтобы избавиться от дроби:

\[ -14x + 74 = 3(x-3)(x-1) \]

Раскроем скобки справа:

\[ 3(x-3)(x-1) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9 \]

Теперь уравнение:

\[ -14x + 74 = 3x^2 - 12x + 9 \]

Шаг 5: Перенос и упрощение

Переносим все на одну сторону:

\[ 0 = 3x^2 - 12x + 9 + 14x - 74 \]

Упрощаем:

\[ 0 = 3x^2 + 2x - 65 \]

Теперь решаем квадратное уравнение:

\[ 3x^2 + 2x - 65 = 0 \]

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-65) = 4 + 780 = 784 \]

Корень дискриминанта:

\[ \sqrt{784} = 28 \]

Решения:

\[ x_1 = \frac{-2 + 28}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 28}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \]

Проверка

Проверим, не обращают ли знаменатели дробей в ноль:

• Для \(x = \frac{13}{3}\):

  Значения \((x-3)\) и \((x-1)\) не равны нулю.

• Для \(x = -5\):

  Значения \((x-3)\) и \((x-1)\) также не равны нулю.

Ответ

Решения уравнения: \(x = \frac{13}{3}\) и \(x = -5\).