сколькими способами можно распределить 6 различных книг между тремя учащимися, чтобы каждый получил по 2 книги

Чтобы решить задачу о распределении 6 различных книг между тремя учащимися так, чтобы каждый получил по 2 книги, мы будем использовать сочетание и перестановку.

Шаг 1: Выбор книг для первого учащегося

Сначала выберем 2 книги из 6 для первого учащегося. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае книг), \( k \) — количество выбираемых элементов.

Для первого учащегося мы выбираем 2 книги из 6:

\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

Шаг 2: Выбор книг для второго учащегося

Теперь у нас осталось 4 книги, и мы должны выбрать 2 из них для второго учащегося. Считаем количество способов:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

Шаг 3: Книги для третьего учащегося

Для третьего учащегося остается 2 книги, и мы можем дать их ему единственным способом:

\[ C(2, 2) = 1 \]

Шаг 4: Перестановка книг среди учащихся

Так как книги различны, каждую выбранную пару книг можно переставлять среди учащихся. Рассмотрим всех трех учащихся и посчитаем, сколько способов распределить выбранные пары книг. У нас есть 3 учащихся, значит, мы можем переставлять 3 выбранные группы:

\[ 3! = 6 \]

Шаг 5: Общее количество способов распределения

Теперь мы можем умножить количество способов выбора книг и перестановки:

\[ \text{Общее количество способов} = C(6, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2) \cdot 3! = 15 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 6 = 540 \]

Ответ

Таким образом, есть 540 способов распределить 6 различных книг между тремя учащимися, так, чтобы каждый получил по 2 книги.