Чтобы решить задачу о распределении 6 различных книг между тремя учащимися так, чтобы каждый получил по 2 книги, мы будем использовать сочетание и перестановку.
Шаг 1: Выбор книг для первого учащегося
Сначала выберем 2 книги из 6 для первого учащегося. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество элементов (в нашем случае книг), ( k ) — количество выбираемых элементов.
Для первого учащегося мы выбираем 2 книги из 6:
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
]
Шаг 2: Выбор книг для второго учащегося
Теперь у нас осталось 4 книги, и мы должны выбрать 2 из них для второго учащегося. Считаем количество способов:
[
C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
]
Шаг 3: Книги для третьего учащегося
Для третьего учащегося остается 2 книги, и мы можем дать их ему единственным способом:
[
C(2, 2) = 1
]
Шаг 4: Перестановка книг среди учащихся
Так как книги различны, каждую выбранную пару книг можно переставлять среди учащихся. Рассмотрим всех трех учащихся и посчитаем, сколько способов распределить выбранные пары книг. У нас есть 3 учащихся, значит, мы можем переставлять 3 выбранные группы:
[
3! = 6
]
Шаг 5: Общее количество способов распределения
Теперь мы можем умножить количество способов выбора книг и перестановки:
[
\text{Общее количество способов} = C(6, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2) \cdot 3! = 15 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 6 = 540
]
Ответ
Таким образом, есть 540 способов распределить 6 различных книг между тремя учащимися, так, чтобы каждый получил по 2 книги.
