Напиши конспект по геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах Теорема Прямая, проведённая в плоскости через основа- ние наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой на- клонной. Доказательство Обратимся к рисунку 53, на котором от- резок АН — перпендикуляр к плоскости α, AM — наклонная, а — прямая, проведённая в плоско- сти α через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что а ⊥ АМ. Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, лежащим в плоскости АМН (a ⊥ HM по условию и a ⊥ AH, так как АН ⊥ α). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности а ⊥ АМ. Теорема доказана. Эта теорема называется теоремой о трёх перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM. Справедлива также обратная теорема: прямая, проведённая в плоскости через основа- ние наклонной перпендикулярно к ней, перпенди- кулярна и к её проекции. По аналогии с доказа- тельством прямой теоремы, используя рисунок 53, докажите эту теорему самостоятельно (задача 153). 21 Угол между прямой и плоскостью В п. 19 было дано определение проекции наклонной на плоскость. Введём теперь понятие проекции1 произвольной фигуры. Проекцией точ- ки на плоскость называется основание перпенди- куляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. На рисунке 54 точ- ка M1 — проекция точки M на плоскость α, а N — проекция самой точки N на ту же плоскость (N ∈ α). Обозначим буквой F какую-нибудь фи- гуру в пространстве. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F1 , которая называется проекци- ей фигуры F на данную плоскость. На рисунке 54 треугольник F1 — проекция треугольника F на плоскость α. Докажем теперь, что проекцией пря- мой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Данную плоскость обозначим буквой α, a произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости α, — буквой а (рис. 55). Из какой-ни- будь точки М прямой а проведём перпендикуляр МН к плоскости α и рассмотрим плоскость β, проходящую через a и МН. Плоскости α и β пере- секаются по некоторой прямой a1 . Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость α. В самом деле, возьмём произвольную точку М1 прямой а и проведём в плоскости β прямую М1Н1 , параллельную прямой МН (Н1 — точ- ка пересечения прямых М 1Н1 и а1 ). По первой теореме п. 16 M1H1 ⊥ α, и, значит, точка Н 1 яв- ляется проекцией точки M1 на плоскость α. Мы доказали, что проекция произвольной точки пря- мой а лежит на прямой а1 . Аналогично доказы- вается, что любая точка прямой а1 является про- екцией некоторой точки прямой а. Следователь- но, a1 — проекция прямой а на плоскость α. Из доказанного утверждения следует, что проекцией отрезка АВ, не перпендикулярно- го к плоскости, является отрезок, концами кото- рого служат проекции точек А и В. Поэтому опре- деление проекции наклонной (п. 19) полностью согласуется с общим определением проекции фи- гуры. Используя понятие проекции прямой на плоскость, дадим определение угла между прямой и плоскостью. Определение Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту пря- мую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Можно доказать, что угол ϕ 0 между данной прямой AM и плоскостью α (рис. 56) яв- ляется наименьшим из всех углов ϕ, которые дан- ная прямая образует с прямыми, проведёнными в плоскости α через точку А (задача 162). Если прямая перпендикулярна к пло- скости, то её проекцией на эту плоскость являет- ся точка пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Если данная прямая параллельна пло- скости, то её проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае по- нятие угла между прямой и плоскостью мы не вво- дим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью ра- вен 0°.) ( Замечание Наряду с рассмотренной в этом пункте прямоугольной проекцией и параллельной проек- цией, речь о которой пойдёт в приложении 1, иногда используется центральная проекция. Она определяется так. Рассмотрим произвольную пло- скость α и какую-нибудь точку О, не лежащую в этой плоскости. Пусть β — плоскость, проходя- щая через точку О и параллельная плоскости α. Центральной проекцией (с центром О) точки М, не лежащей в плоскости β, на плоскость α назы- вается точка М 1 пересечения прямой ОМ с пло- скостью α. Центральной проекцией фигуры на плоскость α называется множество центральных проекций на плоскость α всех точек этой фигуры, не лежащих в плоскости β. Примером централь- ной проекции фигуры является её фотографиче- ский снимок.