Дана геометрическая прогрессия 1; -1/4; 1/16; ... . а) Найдите пятый член прогрессии; б) Найдите сумму первых четырех членов прогрессии
Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, давайте разберёмся с формулами и шагами, необходимыми для выполнения заданий.
Условия задачи
Дана геометрическая прогрессия: \( 1, -\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \ldots \)
- Найдём общий знаменатель (q) прогрессии:
Общий член геометрической прогрессии можно найти по следующей формуле:
\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
где:
- \( a_n \) — n-ый член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии (\( a_1 = 1 \)),
- \( q \) — знаменатель (коэффициент), который можно найти как отношение второго члена к первому:
\[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-\frac{1}{4}}{1} = -\frac{1}{4}. \]
Теперь найдем пятый член.
а) Найдём пятый член прогрессии
Используем формулу для общего члена:
\[ a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{4}. \]
Теперь расчитаем \( \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} \):
\[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}. \]
Итак, пятый член прогрессии:
\[ \boxed{\frac{1}{256}}. \]
б) Найдём сумму первых четырех членов прогрессии
Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad (q \neq 1) \]
Где \( n = 4 \). Подставляем известные значения:
\[ S_4 = 1 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)}. \]
Сначала вычислим \( q^4 \):
\[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \frac{1}{256} \quad \text{(это мы уже вычислили)}. \]
Теперь подставим это в формулу суммы:
\[ S_4 = \frac{1 - \frac{1}{256}}{1 + \frac{1}{4}}. \]
Вычислим числитель:
\[ 1 - \frac{1}{256} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256}. \]
Теперь найдём знаменатель:
\[ 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}. \]
Теперь подставляем и упрощаем:
\[ S_4 = \frac{\frac{255}{256}}{\frac{5}{4}} = \frac{255}{256} \cdot \frac{4}{5} = \frac{255 \cdot 4}{256 \cdot 5} = \frac{1020}{1280}. \]
Упрощаем:
\[ S_4 = \frac{1020 \div 20}{1280 \div 20} = \frac{51}{64}. \]
Итак, сумма первых четырёх членов прогрессии:
\[ \boxed{\frac{51}{64}}. \]
