Дана геометрическая прогрессия 1; -1/4; 1/16; ... . а) Найдите пятый член прогрессии; б) Найдите сумму первых четырех членов прогрессии

Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, давайте разберёмся с формулами и шагами, необходимыми для выполнения заданий. ### Условия задачи Дана геометрическая прогрессия: \( 1, -\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \ldots \) 1. **Найдём общий знаменатель (q) прогрессии:** Общий член геометрической прогрессии можно найти по следующей формуле: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] где: - \( a_n \) — n-ый член прогрессии, - \( a_1 \) — первый член прогрессии (\( a_1 = 1 \)), - \( q \) — знаменатель (коэффициент), который можно найти как отношение второго члена к первому: \[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-\frac{1}{4}}{1} = -\frac{1}{4}. \] Теперь найдем пятый член. ### а) Найдём пятый член прогрессии Используем формулу для общего члена: \[ a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{4}. \] Теперь расчитаем \( \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} \): \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}. \] Итак, пятый член прогрессии: \[ \boxed{\frac{1}{256}}. \] ### б) Найдём сумму первых четырех членов прогрессии Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad (q \neq 1) \] Где \( n = 4 \). Подставляем известные значения: \[ S_4 = 1 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)}. \] Сначала вычислим \( q^4 \): \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \frac{1}{256} \quad \text{(это мы уже вычислили)}. \] Теперь подставим это в формулу суммы: \[ S_4 = \frac{1 - \frac{1}{256}}{1 + \frac{1}{4}}. \] Вычислим числитель: \[ 1 - \frac{1}{256} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256}. \] Теперь найдём знаменатель: \[ 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}. \] Теперь подставляем и упрощаем: \[ S_4 = \frac{\frac{255}{256}}{\frac{5}{4}} = \frac{255}{256} \cdot \frac{4}{5} = \frac{255 \cdot 4}{256 \cdot 5} = \frac{1020}{1280}. \] Упрощаем: \[ S_4 = \frac{1020 \div 20}{1280 \div 20} = \frac{51}{64}. \] Итак, сумма первых четырёх членов прогрессии: \[ \boxed{\frac{51}{64}}. \]