.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Условия задачи:

1. В треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) на высоте \( BD \) выбрана точка \( M \).
2. Нужно доказать, что \( \triangle AMD = \triangle CMD \).

Решение:

Шаг 1: Разбор условия

• Треугольник \( ABC \) имеет \( AC \) — основание, а \( BD \)— его высота.
• Точка \( M \) находится на высоте \( BD \).

Шаг 2: Изучим треугольники \( AMD \) и \( CMD \)

• Эти треугольники лежат на одной и той же высоте из вершины \( B \).
• Общая высота — это как раз отрезок \( MD \), который является общим для обоих треугольников.

Шаг 3: Доказательство равенства

Треугольники \( AMD \) и \( CMD \) имеют следующее:

• Общий катет: сторона \( MD \) является общей стороной у обоих треугольников.
• Равные стороны: \( AD = DC \). Так как \( D \) — середина \( AC \), то получается, что в случае медианы и высоты из одной вершины (если \( D \) середина), \( AD = DC \).

Шаг 4: Используем равные элементы

• Равенство сторон: \( AD = DC \).
• Общая сторона: \( MD = MD \).

Эти треугольники \( AMD \) и \( CMD \) имеют:

• Один общий катет и равные прилегающие отрезки основания \( AD \) и \( DC \).

Заключение:

По признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы доказали, что \( \triangle AMD \cong \triangle CMD \).

Это удовлетворяет условиям задачи и завершает доказательство.