Построить график у=-2х2+8х+5

Чтобы построить график функции \( y = -2x^2 + 8x + 5 \), следуем нескольким шагам:

Шаг 1: Определение типа функции

Данная функция — это квадратная функция, поскольку она имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -2 \), \( b = 8 \) и \( c = 5 \). Поскольку \( a < 0 \), график этой функции будет параболой, направленной вниз.

Шаг 2: Нахождение координат вершины параболы

Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \]

Теперь найдем значение \( y \) в этой точке, подставив \( x_v \) в уравнение функции: \[ y_v = -2(2^2) + 8(2) + 5 \] \[ y_v = -2(4) + 16 + 5 \] \[ y_v = -8 + 16 + 5 = 13 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, 13) \).

Шаг 3: Нахождение пересечений с осями

Пересечение с осью Y: Чтобы найти, где график пересекает ось Y, подставим \( x = 0 \): \[ y = -2(0)^2 + 8(0) + 5 = 5 \] Следовательно, точка пересечения с осью Y \( (0, 5) \).

Пересечение с осью X: Для нахождения координат пересечений с осью X решим уравнение: \[ -2x^2 + 8x + 5 = 0 \] Можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 5 = 64 + 40 = 104 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{26}}{-4} = 2 \pm \frac{\sqrt{26}}{2} \]

Таким образом, пересечения с осью X в точках: \[ x_1 = 2 + \frac{\sqrt{26}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = 2 - \frac{\sqrt{26}}{2} \]

Шаг 4: Построение графика

Теперь имеем следующие важные точки для построения графика:

• Вершина: \( (2, 13) \)
• Пересечение с осью Y: \( (0, 5) \)
• Пересечение с осью X: приблизительно \( (2 + 2.55, 0) \approx (4.55, 0) \) и \( (2 - 2.55, 0) \approx (-0.55, 0) \) (приблизительные значения, так как \( \sqrt{26} \approx 5.1 \)).

Шаг 5: Очерчивание графика

1. Нанесите на координатную плоскость найденные точки.
2. Проведите гладкую кривую, соединяющую эти точки, помня, что парабола направлена вниз.

Таким образом, график функции \( y = -2x^2 + 8x + 5 \) будет представлять собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке \( (2, 13) \), пересечением с осью Y в \( (0, 5) \) и промышленными точками пересечения с осью X.