Определи количество точек пересечения параболы y=x²+5x−7 и прямой 4x−11y=0 .

Чтобы определить количество точек пересечения параболы и прямой, нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения прямой.

1. Запишем уравнения:

   • Уравнение параболы: \( y = x^2 + 5x - 7 \)
   • Уравнение прямой: \( 4x - 11y = 0 \) или, выразив \( y \), \( y = \frac{4}{11}x \)

2. Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: Теперь подставим \( y = \frac{4}{11}x \) в уравнение параболы: \[ \frac{4}{11}x = x^2 + 5x - 7 \]

3. Умножим обе стороны на 11, чтобы избавиться от дроби: \[ 4x = 11x^2 + 55x - 77 \]

4. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 0 = 11x^2 + 55x - 77 - 4x \] \[ 0 = 11x^2 + 51x - 77 \]

5. Решим квадратное уравнение: Теперь мы можем использовать дискриминант для определения количества корней: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 11 \), \( b = 51 \), \( c = -77 \). Подставим значения: \[ D = 51^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-77) \] \[ D = 2601 + 3408 = 6009 \]

6. Определяем количество точек пересечения: Поскольку дискриминант \( D > 0 \), это означает, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Ответ: Парабола \( y = x^2 + 5x - 7 \) и прямая \( 4x - 11y = 0 \) пересекаются в 2 точках.