Найди значение параметра K при которой прямая Y = KX имеет только одну общую точку с графиком функции y = x - 2 / x² - 2x ответ K =
Для того чтобы найти значение параметра \( K \), при котором прямая \( Y = KX \) имеет только одну общую точку с графиком функции \( y = \frac{x - 2}{x^2 - 2x} \), нужно решить условие, при котором система уравнений имеет единственное решение.
Запишем уравнения.
Прямая:
\[ y = Kx \]Функция:
\[ y = \frac{x - 2}{x^2 - 2x} \]Приравняем уравнения.
Чтобы найти общие точки, приравняем правые части:
\[ Kx = \frac{x - 2}{x^2 - 2x} \]Умножим обе стороны на \( x^2 - 2x \) (при условии, что \( x^2 - 2x \neq 0 \)):
\[ Kx(x^2 - 2x) = x - 2 \]Раскроем скобки: \[ Kx^3 - 2Kx^2 = x - 2 \] Приведем все к одной стороне: \[ Kx^3 - 2Kx^2 - x + 2 = 0 \]
Теперь у нас есть кубическое уравнение:
\[ Kx^3 - 2Kx^2 - x + 2 = 0 \]Условие для единственного решения.
У кубического уравнения единственное решение, когда дискриминант равен нулю, или его производная имеет только одну общую точку с осью \( x \).Проверим производную: \[ f(x) = Kx^3 - 2Kx^2 - x + 2 \]
Найдем производную: \[ f'(x) = 3Kx^2 - 4K - 1 \]
Чтобы получить единственное решение, \( f'(x) = 0 \) должно иметь ровно одно решение. Это происходит, когда дискриминант производной равен нулю:
\[ D = (-4K)^2 - 4 \cdot 3K \cdot (-1) = 16K^2 + 12K = 0 \]
Решим полученное уравнение: \[ 4K(4K + 3) = 0 \]
Отсюда получаем два случая:
- \( K = 0 \)
- \( 4K + 3 = 0 \) → \( K = -\frac{3}{4} \)
Таким образом, при \( K = 0 \) или \( K = -\frac{3}{4} \) прямая \( Y = KX \) имеет только одну общую точку с графиком функции.
Ответ: \( K = 0 \) или \( K = -\frac{3}{4} \).
