Решите совокупность неравенств (x*х-6x+9) (х*х-4) <0 x-5:х<0

Давайте решим предложенную совокупность неравенств пошагово.

Неравенство 1: \((x^2 - 6x + 9)(x^2 - 4) < 0\)

1. Сначала упростим каждое выражение:

   • \(x^2 - 6x + 9\) можно записать как \((x - 3)^2\) (это квадрат полного значения).
   • \(x^2 - 4\) можно разложить на множители как \((x - 2)(x + 2)\) (это разность квадратов).

   Таким образом, неравенство преобразуется в: \[ (x - 3)^2 (x - 2)(x + 2) < 0 \]

2. Найдем корни уравнения:

   • \((x - 3)^2 = 0\) даёт \(x = 3\) (двойной корень).
   • \(x - 2 = 0\) даёт \(x = 2\).
   • \(x + 2 = 0\) даёт \(x = -2\).

3. Определим знаки на интервалах:

   Мы имеем критические точки: \(-2, 2, 3\). Разобьём числовую прямую на интервалы:

   • \((-∞, -2)\)
   • \((-2, 2)\)
   • \((2, 3)\)
   • \((3, ∞)\)

   Теперь проверим знак в каждом интервале.

   • На интервале \((-∞, -2)\) (например, \(x = -3\)): \[ (-)(-)(-) = - \quad \text{(меньше 0)} \]
   • На интервале \((-2, 2)\) (например, \(x = 0\)): \[ (+)(-)(+) = - \quad \text{(меньше 0)} \]
   • На интервале \((2, 3)\) (например, \(x = 2.5\)): \[ (+)(+)(+) = + \quad \text{(не меньше 0)} \]
   • На интервале \((3, ∞)\) (например, \(x = 4\)): \[ (+)(+)(+) = + \quad \text{(не меньше 0)} \]

4. Соберем результаты:

   Исключаем точки, где \( (x - 3)^2 = 0\) так как они делают выражение равным 0. Мы рассматриваем только участки, где всё выражение меньше 0.

   Таким образом, решение первого неравенства: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \]

Неравенство 2: \( \frac{x - 5}{x} < 0 \)

1. Определяем, когда дробь меньше 0: Дробь \(\frac{x - 5}{x}\) будет меньше 0, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

   • Числитель: \(x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5\)
   • Знаменатель: \(x < 0\) (нельзя делить на 0)

   Таким образом: \[ x - 5 < 0 \text{ и } x > 0 \Rightarrow (x < 5 \text{ и } x > 0) \]

   Решение это обозначается как интервал: \[ x \in (0, 5) \]

Итоговое решение:

Теперь нам нужно объединить оба неравенства, которые мы решили:

1. Первое неравенство: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \]

2. Второе неравенство: \[ x \in (0, 5) \]

Объединяем решения: Смотрим на пересечение. Пересечение даёт только: \[ x \in (0, 2) \]

Ответ:

\[ x \in (0, 2) \]

Это конечный ответ на вашу совокупность неравенств! Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, дайте знать!