Найди f ′ ( x ) f ′ (x) , если f ( x ) = ( 2 x + 1 ) 2 f(x)=(2x+1) 2

Давайте разберем, как найти производную функции \( f(x) = (2x + 1)^2 \).

Шаг 1: Применение правила дифференцирования

Чтобы найти производную функции, мы можем использовать правило производной сложной функции, известное как правило цепочки. В этом случае у нас есть внешний и внутренний функцией:

• Внешняя функция: \( g(u) = u^2 \) (где \( u = 2x + 1 \))
• Внутренняя функция: \( u = 2x + 1 \)

Шаг 2: Нахождение производной внешней и внутренней функции

1. Найдем производную внешней функции \( g(u) \): \[ g'(u) = 2u \]

2. Найдем производную внутренней функции \( u \): \[ u'(x) = 2 \]

Шаг 3: Применение правила цепочки

Теперь по правилу цепочки (если \( f(x) = g(u(x)) \), то \( f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) \)): \[ f'(x) = g'(u) \cdot u'(x) = 2u \cdot 2 \] Заменяем \( u \) на \( (2x + 1) \): \[ f'(x) = 2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1) \]

Шаг 4: Упрощение

Преобразуем выражение: \[ f'(x) = 8x + 4 \]

Ответ

Таким образом, производная функции \( f(x) = (2x + 1)^2 \) равна: \[ f'(x) = 8x + 4 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам что-то неясно, не стесняйтесь задавать!