Почтальон Печкин поехал навстречу родителям Дяди Федора на своем велосипеде. Колеса его велосипеда одинаковы и украшены тонкими красными кольцами (см. рисунок). В самом начале…

Давайте внимательно разберем задачу о почтальоне Печкине и его велосипеде.

Дано:

1. Частота вращения колес \( f = 2 \) об/с.
2. Радиус колеса \( r = 0.5 \) м.
3. Расстояние между центрами колес \( d = 1.5 \) м.

Цель:

Найти наименьший промежуток времени, когда кольца будут на самом дальнем расстоянии друг от друга.

Пошаговое решение:

1. Определим угловую скорость: Угловая скорость (\( \omega \)) колеса может быть вычислена по формуле: \[ \omega = 2\pi f \] Подставим значение частоты: \[ \omega = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \, \text{рад/с} \]

2. Определим позицию красных колец:

   • Переднее колесо:
     • В начальный момент (т. A) красное кольцо находится в верхней позиции (угол = 0).
     • На переднем колесе красное кольцо начнет опускаться в дальнейшем с \( \theta_{1}(t) = \omega t \).
   • Заднее колесо:
     • В начальный момент (т. B) красное кольцо находится в нижней позиции (угол = \( \pi \)).
     • На заднем колесе красное кольцо будет подниматься с \( \theta_{2}(t) = \pi + \omega t \).

3. Вычислим координаты колец: Для переднего колеса: \[ P_{front}(t) = (0.75 \cos(\omega t), 0.75 + 0.75 \sin(\omega t)) \] Для заднего колеса: \[ P_{back}(t) = (-0.75 \cos(\omega t + \pi), 0.75 - 0.75 \sin(\omega t + \pi)) \]

   Так как \( \cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta) \) и \( \sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta) \), у нас получается: \[ P_{back}(t) = (0.75 \cos(\omega t), 0.75 - 0.75 \sin(\omega t)) \]

4. Определяем расстояние между кольцами: Рассчитаем расстояние \( D(t) \) между кольцами: \[ D(t) = \sqrt{(x_{front} - x_{back})^2 + (y_{front} - y_{back})^2} \]

   Подставим полученные координаты: \[ D(t) = \sqrt{(0.75 \cos(\omega t) - 0.75 \cos(\omega t))^2 + (0.75 + 0.75 \sin(\omega t) - (0.75 - 0.75 \sin(\omega t)))^2} \] Упростим это уравнение: \[ D(t) = \sqrt{(0)^2 + (1.5 \sin(\omega t))^2} = 1.5 |\sin(\omega t)| \]

5. Находим наибольшее значение: Макс. значение \( |\sin(\theta)| \) равно 1. Значит, когда \( \sin(\omega t) = 1 \): \[ D_{max} = 1.5 \cdot 1 = 1.5 \, \text{м} \] Это происходит при \( \omega t = \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

6. Находим минимальное время: Чтобы найти наименьшее время: \[ \omega t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\frac{\pi}{2}}{4\pi} = \frac{1}{8} \, \text{с} = 125 \, \text{мс} \]

Ответ:

Наименьший промежуток времени, когда кольца будут на самом дальнем расстоянии друг от друга, составляет \( 125 \, \text{мс} \).