2m/5+n/3=1 m/10-7n/6=4 Решить способом сложения 7 класс

Для решения системы уравнений: \[ \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \quad (1) \] \[ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4 \quad (2) \] при помощи метода сложения, сначала преобразуем уравнения, чтобы избавиться от дробей. Для этого найдем общие множители. ### Шаг 1: Устранение дробей в первом уравнении Уравнение (1): \[ \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \] Общий знаменатель для дробей 5 и 3 – это 15. Умножим всё уравнение на 15: \[ 15 \cdot \frac{2m}{5} + 15 \cdot \frac{n}{3} = 15 \cdot 1 \] Это даст: \[ 6m + 5n = 15 \quad (3) \] ### Шаг 2: Устранение дробей во втором уравнении Теперь возьмем уравнение (2): \[ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4 \] Общий знаменатель для дробей 10 и 6 – это 30. Умножим всё уравнение на 30: \[ 30 \cdot \frac{m}{10} - 30 \cdot \frac{7n}{6} = 30 \cdot 4 \] Это даст: \[ 3m - 35n = 120 \quad (4) \] ### Шаг 3: Система уравнений Теперь у нас есть система уравнений: \[ 6m + 5n = 15 \quad (3) \] \[ 3m - 35n = 120 \quad (4) \] ### Шаг 4: Умножим первое уравнение на 5 Чтобы воспользоваться методом сложения, давайте умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при \( n \) стали одинаковыми: \[ 5 \cdot (6m + 5n) = 5 \cdot 15 \] Это даст: \[ 30m + 25n = 75 \quad (5) \] ### Шаг 5: Сложение уравнений Теперь сложим (5) и (4): \[ 30m + 25n + (3m - 35n) = 75 + 120 \] Собираем подобные: \[ 30m + 3m + 25n - 35n = 195 \] Это упростится до: \[ 33m - 10n = 195 \quad (6) \] ### Шаг 6: Рассмотрим систему (3) и (4) для решения \( n \) Теперь вернемся к (3): \[ 6m + 5n = 15 \] Выразим \( n \) через \( m \): \[ 5n = 15 - 6m \] \[ n = \frac{15 - 6m}{5} \] ### Шаг 7: Подставим \( n \) в (4) Теперь подставим \( n \) из (3) в (4): \[ 3m - 35 \cdot \frac{15 - 6m}{5} = 120 \] Упрощая, мы получаем: \[ 3m - 7(15 - 6m) = 120 \] Это даст: \[ 3m - 105 + 42m = 120 \] \[ 45m - 105 = 120 \] ### Шаг 8: Находим \( m \) Теперь добавим 105 к обеим сторонам: \[ 45m = 225 \] Разделим на 45: \[ m = 5 \] ### Шаг 9: Находим \( n \) Теперь подставим найденное \( m \) в уравнение для \( n \): \[ n = \frac{15 - 6 \cdot 5}{5} \] \[ n = \frac{15 - 30}{5} = \frac{-15}{5} = -3 \] ### Ответ Таким образом, решения системы: \[ m = 5, \quad n = -3 \] Это ответ на данную систему уравнений.