Для решения задачи о движении материальной точки, заданной законом ( x(t) = -13t^3 + 2t^2 + 5t + 13 ), сначала найдем скорость этой точки в момент времени ( t = 3 ) секунды.
Шаг 1: Найдем скорость точки
Скорость ( v(t) ) является производной функции положения ( x(t) ) по времени ( t ). То есть:
[
v(t) = \frac{dx(t)}{dt}
]
Для нашего уравнения ( x(t) ):
[
x(t) = -13t^3 + 2t^2 + 5t + 13
]
Шаг 2: Вычислим производную
Теперь найдем производную:
[
v(t) = \frac{d}{dt}(-13t^3) + \frac{d}{dt}(2t^2) + \frac{d}{dt}(5t) + \frac{d}{dt}(13)
]
Вычислим каждую часть:
- ( \frac{d}{dt}(-13t^3) = -39t^2 )
- ( \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t )
- ( \frac{d}{dt}(5t) = 5 )
- ( \frac{d}{dt}(13) = 0 ) (это константа)
Теперь можем собрать все вместе:
[
v(t) = -39t^2 + 4t + 5
]
Шаг 3: Найдем скорость в момент времени ( t = 3 )
Теперь подставим значение ( t = 3 ) в формулу для скорости:
[
v(3) = -39(3^2) + 4(3) + 5
]
Вычислим ( 3^2 ):
[
3^2 = 9
]
Теперь подставим:
[
v(3) = -39(9) + 4(3) + 5 = -351 + 12 + 5
]
Теперь рассчитаем:
[
v(3) = -351 + 17 = -334
]
Ответ
Скорость материальной точки в момент времени ( t = 3 ) секунды составляет ( -334 , \text{м/с} ).
Отрицательное значение скорости указывает на то, что точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси ( x ).
