Давайте сначала разберемся с тем, что такое дисперсия. Дисперсия — это мера разброса чисел в наборе данных относительно их среднего значения. Чем больше разброс, тем выше дисперсия.
Теперь рассмотрим вашу задачу. У вас есть набор из десяти чисел, и каждое из них увеличивается в два раза. Мы посмотрим, как это повлияет на дисперсию.
Шаг 1: Определение дисперсии
Дисперсия вычисляется по следующей формуле:
[
D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2
]
где:
- ( D ) — дисперсия,
- ( N ) — количество чисел в наборе,
- ( x_i ) — каждое число в наборе,
- ( \bar{x} ) — среднее значение набора.
Шаг 2: Увеличение всех чисел в два раза
Если каждое число в наборе увеличивается в два раза, получится новый набор чисел:
[
y_i = 2 \cdot x_i
]
где ( y_i ) — новые числа.
Шаг 3: Определение нового среднего
Новое среднее значение (( \bar{y} )) также увеличивается в два раза:
[
\bar{y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} y_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (2 \cdot x_i) = 2 \cdot \bar{x}
]
Шаг 4: Вычисление новой дисперсии
Теперь подставим новое количество чисел и новое среднее значение в формулу дисперсии:
[
D_y = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (2 \cdot x_i - 2 \cdot \bar{x})^2
]
Можно вынести 2 за знак суммы:
[
D_y = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} 4 \cdot (x_i - \bar{x})^2 = 4 \cdot \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 = 4D
]
Заключение
Таким образом, когда каждое число в наборе увеличивается в два раза, дисперсия увеличивается в четыре раза. Это означает, что если изначальная дисперсия была ( D ), то новая дисперсия будет равна ( 4D ).
Это связано с тем, что увеличение всех чисел в два раза увеличивает разброс квадратов разностей от среднего значения, что и приводит к увеличению дисперсии в четыре раза.
