7Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найти объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от…

Для решения задачи начнем с того, что определим необходимые элементы геометрии конуса и воспользуемся свойством подобия фигур.

Данные:

• Высота исходного конуса \( h = 5 \) см.
• Плоскость, параллельная основанию, пересекает конус на расстоянии 2 см от вершины, значит, высота сеченного конуса равна \( h_1 = h - 2 = 5 - 2 = 3 \) см.
• Объем меньшего конуса \( V_1 = 24 \) см³.

Формулы для объема конуса:

Объем конуса рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Определение объемов:

Объем меньшего конуса (высота \( h_1 = 3 \) см) можно выразить как: \[ V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 \] где \( r_1 \) — радиус основания меньшего конуса.

Сначала подставим известные значения в уравнение: \[ 24 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 \cdot 3 \] Упростим это уравнение: \[ 24 = \pi r_1^2 \] Отсюда находим радиус меньшего конуса: \[ r_1^2 = \frac{24}{\pi} \] Теперь найдем \( r_1 \): \[ r_1 = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \]

Применение подобия фигур:

Поскольку плоскость сечёт конус, оба конуса (исходный и меньший) подобны. Соотношение их радиусов и высот будет одинаковым: \[ \frac{r_1}{r} = \frac{h_1}{h} = \frac{3}{5} \]

Обозначим радиус исходного конуса как \( r \): \[ r_1 = \frac{3}{5}r \]

Подставим это значение в уравнение радиуса меньшего конуса: \[ \frac{3}{5}r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \]

Теперь выразим радиус \( r \) через известные значения. Квадрат обеих частей: \[ \left(\frac{3}{5}r\right)^2 = \frac{24}{\pi} \] \[ \frac{9}{25}r^2 = \frac{24}{\pi} \] Отсюда находим \( r^2 \): \[ r^2 = \frac{24 \cdot 25}{9 \pi} \]

Объем исходного конуса:

Теперь подставим радиус \( r \) в формулу объема общего конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Подставляя h = 5 см: \[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{24 \cdot 25}{9 \pi}\right) \cdot 5 \]

Упрощаем: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{24 \cdot 25 \cdot 5}{9} \] \[ V = \frac{1200}{27} \approx 44.44 \text{ см}^3 \]

Ответ:

Объем исходного конуса приблизительно равен \( 44.44 \) см³.