Два игрока играют в следующую игру. В начале игры фишка назодится в точке (3,2). За один ход фишку можно сдвинуть по оси Х на 2 или по оси Y на 2 или 3 , т.е после первого хода ее координата может быть (5,2) или (3,4) или (3,5).
Выигрывает тот игрок, после хода которого расстояние по прямой от (0,0) до фишки не менее 7. Докажите, построив дерево, что при правильной игре выигрывает
А) первый игрок, т.к. после хода второго игрока все ходы выигрышные;
Б) второй игрок;
В) первый игрок первым ходом.
В данной задаче мы можем рассмотреть дерево решений для анализа различных ходов игры. Начнем с точки (3, 2) и будем прослеживать все возможные ходы каждого игрока.
### Основные положения
- Фишка начинает в точке (3, 2).
- На каждом ходе фишка может сдвинуться:
- На 2 единицы по оси X: `(5, 2)`
- На 2 единицы по оси Y: `(3, 4)`
- На 3 единицы по оси Y: `(3, 5)`
### Определение выигрыша
Игрок выигрывает, если после его хода расстояние по прямой от точки (0, 0) до фишки становится не менее 7. Это расстояние можно вычислить по формуле:
\[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Для выигрыша необходимо, чтобы \( d \geq 7 \) или \( x^2 + y^2 \geq 49 \).
### Проверка возможных ходов
Исходное положение: (3, 2)
1. **Первый игрок делает ход в (5, 2)**:
- Расстояние: \( \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} \) (не выигрывает)
2. **Первый игрок делает ход в (3, 4)**:
- Расстояние: \( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) (не выигрывает)
3. **Первый игрок делает ход в (3, 5)**:
- Расстояние: \( \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} \) (не выигрывает)
Следовательно, после первого хода ФП (первого игрока) фишка остается в состоянии, где ни один из вариантов не ведет к выигрышу.
### Возможные ходы второго игрока
Теперь рассмотрим возможные ответы второго игрока на каждую из позиций после первого игрока.
#### Из (5, 2):
1. (7, 2) (д. 2 по X):
- Расстояние: \( \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{53} \) (не выигрывает)
2. (5, 4) (д. 2 по Y):
- Расстояние: \( \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \) (не выигрывает)
3. (5, 5) (д. 3 по Y):
- Расстояние: \( \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \) (не выигрывает)
#### Из (3, 4):
1. (5, 4):
- Расстояние: \( \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \) (не выигрывает)
2. (3, 6):
- Расстояние: \( \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} \) (не выигрывает)
3. (3, 7):
- Расстояние: \( \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58} \) (не выигрывает)
#### Из (3, 5):
1. (5, 5):
- Расстояние: \( \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \) (не выигрывает)
2. (3, 7):
- Расстояние: \( \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58} \) (не выигрывает)
3. (3, 8):
- Расстояние: \( \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{73} \) (выигрывает)
### Вывод
В результате расследования стало ясно, что первый игрок не может выиграть сразу после первого хода, поскольку результат всех возможных ходов второго игрока будет либо не выигрывающим, либо оставляет вариант для выигрыша. Это указывает на то, что первый игрок не может гарантировать победу, если второй игрок будет играть идеально.
Таким образом, правильный ответ:
**Б) второй игрок.**
