Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x), если F(x) = 0,3x10 + 2x^(7) - 4x, f(x) = = 3x + 14x6 - 4.
Для того чтобы доказать, что функция \( y = F(x) \) является первообразной для функции \( y = f(x) \), нам нужно показать, что производная функции \( F(x) \) равна функции \( f(x) \).
Давайте начнем с вычисления производной \( F(x) \):
Функция \( F(x) \) определена как: \[ F(x) = 0.3x^{10} + 2x^{7} - 4x \]
Теперь найдем её производную \( F'(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(0.3x^{10}) + \frac{d}{dx}(2x^{7}) - \frac{d}{dx}(4x) \]
Используя правила дифференцирования:
- Производная \( x^n \) равна \( n \cdot x^{n-1} \).
- Производная константы равна 0.
Теперь найдем производные каждого слагаемого:
Для \( 0.3x^{10} \): \[ \frac{d}{dx}(0.3x^{10}) = 0.3 \cdot 10x^{9} = 3x^{9} \]
Для \( 2x^{7} \): \[ \frac{d}{dx}(2x^{7}) = 2 \cdot 7x^{6} = 14x^{6} \]
Для \( -4x \): \[ \frac{d}{dx}(-4x) = -4 \]
Теперь сложим все полученные производные: \[ F'(x) = 3x^{9} + 14x^{6} - 4 \]
Теперь сравним \( F'(x) \) с заданной функцией \( f(x) \): \[ f(x) = 3x + 14x^{6} - 4 \]
Как видно, в \( F'(x) \) присутствует \( 14x^{6} \), но \( 3x^{9} \) это не то же самое, что и \( 3x \). Таким образом, \( F'(x) \) не равна \( f(x) \).
Так что функция \( y = F(x) \) не является первообразной для функции \( y = f(x) \).
Итог:
В данном случае у нас получается следующее: \[ F'(x) = 3x^{9} + 14x^{6} - 4 \quad \text{и} \quad f(x) = 3x + 14x^{6} - 4 \] Таким образом, функция \( F(x) \) не является первообразной для функции \( f(x) \).
