2.3.6. Сформулируйте следующие теоремы в импликативной форме и выделите разъяснительную часть, условие и заключение: а) Диагонали прямоугольника равны. б) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. в) Вертикальные углы равны. г) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. д) В правильный многоугольник можно вписать окружность. е) Внутренние накрест лежащие углы равны. ж) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 2.3.7. Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем: а) Для того чтобы диагонали четырехугольника делились точкой пересечения пополам, достаточно, чтобы этот четырехугольник был параллелограммом. б) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы противоположные стороны его были попарно равны. в) Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы высота и медиана, проведенные из одной вершины совпали. г) Для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое суммы делилось на это число. 2.3.8. Для следующих теорем сформулируйте обратные, противоположные и обратные противоположным высказывания. Установите их истинность: а) если один из множителей делится на 23, то все произведение делится на 23; б) если число натуральное, то оно равно своему модулю; в) если четырехугольник – ромб, то противоположные углы его попарно равны; г) если треугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность; д) если фигура квадрат, то она имеет центр симметрии; е) если дуги заключены между параллельными хордами, то они равны; ж) если фигура прямоугольник, то диагонали его точкой пересечения делятся пополам; з) если число представляется произведением трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 6; и) если дискриминант квадратного уравнения равен нуля, то это уравнение имеет два равных действительных корня. 2.3.9. Вместо многоточия вставьте термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно. Ответ обоснуйте в каждом случае: а) для того чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы диагонали его были равны; б) для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 40, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых этой суммы было больше 20; в) для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 6; г) для того чтобы разность двух чисел была четной,…, чтобы оба компонента вычитания были четными; д) для того чтобы прямые пересекались, …, чтобы они лежали в одной плоскости.

Давайте разберем каждую из приведенных задач и сформулируем необходимые теоремы, условия и заключения, а также выполним указанные действия. ### 2.3.6 Формулировка теорем в импликативной форме Импликативная форма теоремы выглядит как "если A, то B", где A — это условие (первый компонент), а B — заключение (второй компонент). а) **Теорема:** Если фигура - прямоугольник, то его диагонали равны. - **Разъяснительная часть:** Прямоугольник - **Условие:** фигура - прямоугольник - **Заключение:** диагонали равны б) **Теорема:** Если фигура - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. - **Разъяснительная часть:** Ромб - **Условие:** фигура - ромб - **Заключение:** диагонали взаимно перпендикулярны в) **Теорема:** Если два угла вертикальны, то они равны. - **Разъяснительная часть:** Вертикальные углы - **Условие:** углы вертикальны - **Заключение:** углы равны г) **Теорема:** Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. - **Разъяснительная часть:** Равнобедренный треугольник - **Условие:** треугольник равнобедренный - **Заключение:** углы при основании равны д) **Теорема:** Если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность. - **Разъяснительная часть:** Правильный многоугольник - **Условие:** многоугольник правильный - **Заключение:** можно вписать окружность е) **Теорема:** Если два угла накрест лежат, то они равны. - **Разъяснительная часть:** Накрест лежащие углы - **Условие:** углы накрест лежащие - **Заключение:** углы равны ж) **Теорема:** Если угол вписан в окружность, то он измеряется половиной дуги, на которую он опирается. - **Разъяснительная часть:** Вписанный угол - **Условие:** угол вписан в окружность - **Заключение:** измеряется половиной дуги ### 2.3.7 Условие и заключение Следует выделить условие и заключение в каждой из теорем. а) **Условие:** четырехугольник параллелограмм **Заключение:** его диагонали делятся точкой пересечения пополам. б) **Условие:** противоположные стороны четырехугольника попарно равны **Заключение:** четырехугольник является параллелограммом. в) **Условие:** высота и медиана из одной вершины совпали **Заключение:** треугольник — равнобедренный. г) **Условие:** каждое слагаемое суммы делится на число **Заключение:** сумма делится на это число. ### 2.3.8 Обратные, противоположные теоремы и их истинность а) **Обратная:** Если все произведение делится на 23, то один из множителей делится на 23. **Истинность:** Ложная (например, 1 * 1 * 23). **Противоположная:** Если один из множителей не делится на 23, то все произведение не делится на 23. **Истинность:** Ложная (например, 1*1*23). **Обратная противоположная:** Если все произведение не делится на 23, то хотя бы один из множителей не делится на 23. **Истинность:** Истинная. б) **Обратная:** Если число не равно своему модулю, то оно не натуральное. **Истинность:** Ложная (например, числа отрицательные не являются натуральными, но не равны своему модулю). **Противоположная:** Если число не натуральное, то оно не равно своему модулю. **Истинность:** Ложная. **Обратная противоположная:** Если число равно своему модулю, то оно натуральное. **Истинность:** Ложная (например, ноль). в) **Обратная:** Если противоположные углы попарно равны, то четырехугольник – ромб. **Истинность:** Ложная (например, прямоугольник). **Противоположная:** Если четырехугольник не ромб, то его противоположные углы не равны. **Истинность:** Ложная. **Обратная противоположная:** Если противоположные углы не попарно равны, то четырехугольник не ромб. **Истинность:** Ложная. г) **Обратная:** Если вокруг треугольника можно описать окружность, то он правильный. **Истинность:** Ложная (например, произвольный треугольник тоже может оказываться описанным). **Противоположная:** Если треугольник не правильный, то вокруг него нельзя описать окружность. **Истинность:** Ложная. **Обратная противоположная:** Если нельзя описать окружность, то треугольник не правильный. **Истинность:** Ложная. д) **Обратная:** Если фигура имеет центр симметрии, то она квадрат. **Истинность:** Ложная (например, круг тоже имеет центр симметрии). **Противоположная:** Если фигура не квадрат, то она не имеет центра симметрии. **Истинность:** Ложная. **Обратная противоположная:** Если фигура не имеет центра симметрии, то она не квадрат. **Истинность:** Истинная. е) **Обратная:** Если дуги не равны, то они не заключены между параллельными хордами. **Истинность:** Ложная. **Противоположная:** Если дуги заключены между параллельными хордами, то они равны. **Истинность:** Истинная. **Обратная противоположная:** Если дуги не равны, то они не заключены между параллельными хордами. **Истинность:** Истинная. ж) **Обратная:** Если диагонали делятся пополам, то фигура прямоугольник. **Истинность:** Ложная (например, параллелограмм). **Противоположная:** Если фигура не прямоугольник, то диагонали не делятся пополам. **Истинность:** Ложная. **Обратная противоположная:** Если диагонали не делятся пополам, то фигура не прямоугольник. **Истинность:** Истинная. з) **Обратная:** Если число делится на 6, то оно представимо как произведение трех последовательных натуральных чисел. **Истинность:** Ложная (например, 12). **Противоположная:** Если число не делится на 6, то оно не является произведением трех последовательных натуральных чисел. **Истинность:** Ложная. **Обратная противоположная:** Если число не представляется как произведение трех последовательных натуральных чисел, то оно не делится на 6. **Истинность:** Истинная. и) **Обратная:** Если уравнение имеет два равных действительных корня, то его дискриминант равен нулю. **Истинность:** Истинная. **Противоположная:** Если дискриминант не равен нулю, то уравнение не имеет двух равных действительных корней. **Истинность:** Ложная (может иметь два разных корня). **Обратная противоположная:** Если уравнение имеет два разных действительных корня, то его дискриминант не равен нулю. **Истинность:** Истинная. ### 2.3.9 Положение термина «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» а) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, **необходимо и достаточно**, чтобы диагонали его были равны. **Обоснование:** Параллелограмм с равными диагоналями — это квадрат. б) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 40, **достаточно**, чтобы хотя бы одно из слагаемых этой суммы было больше 20. **Обоснование:** Если хотя бы одно из чисел больше 20, сумма точно будет больше 40. в) Для того чтобы число делилось на 3, **необходимым** является деление на 6. **Обоснование:** Деление на 6 подразумевает деление на 3, но число может делиться и на 3, не будучи делимым на 6. г) Для того чтобы разность двух чисел была четной, **необходимо**, чтобы оба компонента вычитания были четными или оба были нечетными. **Обоснование:** Разность двух четных чисел или двух нечетных — четное число, а разность четного и нечетного — нечетное. д) Для того чтобы прямые пересекались, **необходимо**, чтобы они лежали в одной плоскости. **Обоснование:** Две прямые в пространстве могут пересекаться только в одной плоскости. Если они не лежат в одной плоскости, они параллельны или скрещиваются. Вот полное пошаговое объяснение для каждой задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!