Давайте разберем каждое задание по очереди.
Задание 10
Мы хотим выбрать 4 актёра из 9 для 4 различных ролей. Здесь важно то, что роли разные, поэтому мы не просто выбираем актёров, а также учитываем порядок, в котором они будут выставлены.
- Сначала выбираем 4 актёра из 9. Это можно сделать с помощью сочетаний:
[
C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
]
- Затем мы можем расставить выбранных 4 актёра на 4 роли. Это можно сделать 4! способами:
[
4! = 24
]
- Теперь перемножим полученные значения:
[
C(9, 4) \times 4! = 126 \times 24 = 3024
]
Таким образом, есть 3024 способа выбрать и расставить актёров.
Задание 12
Здесь мы хотим расставить 4 разные фигуры на шахматной доске, и затем найти вероятность того, что эти фигуры окажутся на клетках A1, A2, A3, A4.
- Сначала считаем, сколько существует способов расставить 4 разные фигуры на 64 клетках шахматной доски. Для первой фигуры есть 64 возможности, для второй — 63, для третьей — 62, и для четвёртой — 61. Таким образом, количество способов расставить фигуры:
[
64 \times 63 \times 62 \times 61
]
- Теперь считаем, сколько способов можно расставить 4 фигуры именно на клетках A1, A2, A3, A4. Это можно сделать 4! способами:
[
4! = 24
]
- Таким образом, вероятность того, что фигуры будут стоять на клетках A1, A2, A3, A4, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
[
P = \frac{4!}{64 \times 63 \times 62 \times 61} = \frac{24}{64 \times 63 \times 62 \times 61}
]
Задание 13
В этом задании мы расставляем 4 одинаковые фигуры.
- В данном случае, так как фигуры одинаковые, мы должны выбрать 4 клетки из 64, на которые будут расставлены фигуры. Это можно сделать с помощью сочетаний:
[
C(64, 4) = \frac{64!}{4!(64-4)!} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
- Теперь найдём вероятность того, что они будут стоять на клетках A1, A2, A3, A4. Поскольку фигуры одинаковые, существует лишь 1 благоприятный вариант (фигуры на клетках A1, A2, A3, A4), так что вероятность будет равна:
[
P = \frac{1}{C(64, 4)}
]
Теперь вы можете подставить значения и выполнить вычисления, чтобы получить конечные числа.
