На открытие олимпиады приглашены 12 девятиклассников. Их построили на расстоянии 1.24 м друг от друга. Сколько существует вариантов построения девятиклассников?

Чтобы решить задачу о количестве вариантов построения 12 девятиклассников, нужно понять, что мы ищем не расстояние между ними, а варианты их расположения в определенном порядке.

1. Определение: Нам нужно выяснить, сколько разных способов можно расположить 12 девятиклассников в линию. Каждый вариант можно рассматривать как перестановку этих 12 человек.

2. Формула для подсчета перестановок: Количество перестановок \( n \) объектов (в нашем случае 12 девятиклассников) вычисляется по формуле: \[ P(n) = n! \] где \( n! \) (факториал \( n \)) – это произведение всех целых чисел от 1 до \( n \).

3. Применение формулы: В нашем случае \( n = 12 \): \[ 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

4. Вычисление \( 12! \):

   • Сначала вычислим несколько промежуточных значений:
     • \( 12 \times 11 = 132 \)
     • \( 132 \times 10 = 1320 \)
     • \( 1320 \times 9 = 11880 \)
     • \( 11880 \times 8 = 95040 \)
     • \( 95040 \times 7 = 665280 \)
     • \( 665280 \times 6 = 3991680 \)
     • \( 3991680 \times 5 = 19958400 \)
     • \( 19958400 \times 4 = 79833600 \)
     • \( 79833600 \times 3 = 239501376 \)
     • \( 239501376 \times 2 = 479002752 \)
     • \( 479002752 \times 1 = 479001600 \)

5. Ответ: Таким образом, количество вариантов построения 12 девятиклассников в линии равно: \[ 12! = 479001600 \]

Следовательно, существует 479001600 способов построения девятиклассников.