Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4, вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найти площадь поверхности тела вращения.
Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание задачи
Мы имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 3 и 4. Когда мы вращаем этот треугольник вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, образуется тело вращения. Наша задача — найти площадь поверхности этого тела вращения.
Шаг 2: Находим гипотенузу
Для начала найдем длину гипотенузы треугольника, используя теорему Пифагора.
Формула теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.
Подставляем наши катеты: \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Таким образом, гипотенуза равна 5.
Шаг 3: Определяем форму тела вращения
Когда треугольник вращается вокруг своей гипотенузы, он образует конус и полусферу. Нам нужно найти площадь поверхности этого тела.
Шаг 4: Разделим тело на части
Площадь боковой поверхности конуса: Формула площади боковой поверхности конуса: \[ S_{бок} = \pi r l \] где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая конуса.
Площадь основания конуса: Формула площади основания: \[ S_{осн} = \pi r^2 \]
Шаг 5: Определим радиус и образующую
Сначала определим радиус и образующую.
- В нашем случае радиус основания равен одному из катетов, то есть \( r = 3 \) (если рассматриваем например, катет 3 в качестве радиуса).
- Образующая \( l \) — это длина гипотенузы, которая равна 5.
Шаг 6: Вычисляем площади
Площадь боковой поверхности конуса: \[ S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \]
Площадь основания конуса: \[ S_{осн} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \]
Шаг 7: Общая площадь поверхности тела вращения
Теперь найдем общую площадь поверхности тела, складывая площадь боковой поверхности и площадь основания: \[ S_{общ} = S_{бок} + S_{осн} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \]
Ответ
Следовательно, площадь поверхности тела вращения равна \( 24\pi \) квадратных единиц.
