Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4, вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найти площадь поверхности тела вращения.

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом. ### Шаг 1: Понимание задачи Мы имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 3 и 4. Когда мы вращаем этот треугольник вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, образуется тело вращения. Наша задача — найти площадь поверхности этого тела вращения. ### Шаг 2: Находим гипотенузу Для начала найдем длину гипотенузы треугольника, используя теорему Пифагора. Формула теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты. Подставляем наши катеты: \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Таким образом, гипотенуза равна 5. ### Шаг 3: Определяем форму тела вращения Когда треугольник вращается вокруг своей гипотенузы, он образует конус и полусферу. Нам нужно найти площадь поверхности этого тела. ### Шаг 4: Разделим тело на части 1. **Площадь боковой поверхности конуса**: Формула площади боковой поверхности конуса: \[ S_{бок} = \pi r l \] где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая конуса. 2. **Площадь основания конуса**: Формула площади основания: \[ S_{осн} = \pi r^2 \] ### Шаг 5: Определим радиус и образующую Сначала определим радиус и образующую. - В нашем случае радиус основания равен одному из катетов, то есть \( r = 3 \) (если рассматриваем например, катет 3 в качестве радиуса). - Образующая \( l \) — это длина гипотенузы, которая равна 5. ### Шаг 6: Вычисляем площади 1. **Площадь боковой поверхности конуса**: \[ S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \] 2. **Площадь основания конуса**: \[ S_{осн} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \] ### Шаг 7: Общая площадь поверхности тела вращения Теперь найдем общую площадь поверхности тела, складывая площадь боковой поверхности и площадь основания: \[ S_{общ} = S_{бок} + S_{осн} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \] ### Ответ Следовательно, площадь поверхности тела вращения равна \( 24\pi \) квадратных единиц.